¿Existe alguna condición sobre las transformadas de Fourier de 2 medidas positivas $\sigma , \mu$ en el círculo unitario complejo $\mathbb{T}$ que implica una continuidad absoluta ( $\sigma\ll\mu$ )?
Respuesta
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Davide Giraudo
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Tal condición existe. Los detalles están en Desbordamiento matemático . Para hallarla, necesitamos el teorema de Radon-Nikodym y la aproximación mediante polinomios trigonométricos.
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No es la respuesta, pero al menos, cuando $\mu_1\ll \mu_2$ podemos encontrar una función $f\in L¹$ tal que $f\mu_2=\mu_1$ Aproximación $f$ por una secuencia de polinomios trigonométricos, obtenemos que la transformada de Fourier de $\mu_1$ está en el cierre para la norma uniforme de elementos de la forma $\sum_{k\in I}a_k\widehat\mu_2(t+k)$ donde $I$ es un subconjunto finito de $\Bbb Z$ . Ahora intentaré ver si esta condición es suficiente.
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@Davide Quieres decir $f\in L^1(\mu_2)$ ¿verdad? ¿Qué justifica la aproximación mediante polinomios trigonométricos?
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No soy experto en análisis armónico. Al menos, lo que hice funciona cuando las funciones continuas son densas en $L^1(\mu_2)$ (sí debería precisar de qué medida se trata). No sé si es el caso, y en qué condiciones. Buscaré en el libro de Rudin.