Error de la suma de Riemann y la integral

Question

Es bien sabido, que tenemos el siguiente error de aproximación: $$ \left|\int_{a}^{b}f(t)dt-\sum_{i=0}^{n}f\left(\xi_{i}\right)s_{n}\right|<\frac{b-a}{2}s_{n}\cdot\text{max}_{x\in\left[a,b\right]}\left|f'\left(x\right)\right|,$$ donde $s_{n}$ es la longitud de la descomposición equidistante del intervalo $\left[a,b\right]$ y $f\in{C^{1}}\left(\left[a,b\right]\right)$ . Mis preguntas son: 1.) Cómo se puede mejorar esta estimación del error, si $f$ y $f'$ ¿son ambas continuas de Lipschitz? 2.) Cómo son esas estimaciones, si $f$ es una función bivariante?

Saludos cordiales Lucas

Answer 1

Supongo que $(\xi_i)$ es la descomposición equidistante del intervalo. He aquí algunas pistas: 1) considerar el caso en que $f'$ es constante; 2) la estimación es una consecuencia del teorema del valor medio, intenta adaptar la prueba.