He visto esta definición de Kuratowski para pares ordenados, pero no logro entender por qué implica un orden para $x$ y $y
$(x,y):=\{\{x\}, \{x,y\}\}$
De acuerdo a mi entendimiento de los conjuntos, $\{\{x\}, \{x,y\}\}$ es también $\{\{x,y\}, \{x\}\}$. Solo cuando pienso en el Axioma de Unión es que $\{\{x\}, \{x,y\}\}$ "colapsa" a $S = \{x, y\}$, pero eso tampoco me ayuda mucho. Lo único que puedo ver es algún mensaje aún oculto en el conjunto que dice "Soy el conjunto $\{x,y\}$ y el orden de $x$ primero está indicado al tener $\{x\}$ acompañándome."
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Pensar en ordenar por inclusión de conjunto
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La propiedad definitoria de los pares ordenados es la siguiente: Para todos los $a,b,c,d$, $(a,b)=(c,d)$ si y solo si $a=c$ y $b=d$. La definición de Kuratowski tiene esta propiedad, por lo que es adecuada para todas nuestras necesidades relacionadas con pares ordenados. La palabra "orden" se utiliza de manera no formal aquí, simplemente porque, intuitivamente, "$a$ viene antes que $b$ en $(a,b)".
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Lo importante de entender es que la definición de Kuratowski es simplemente uno de muchos posibles codificaciones de pares ordenados en el lenguaje de la teoría de conjuntos. Todo lo que necesitamos de una codificación es poder decodificarla, es decir, recuperar $x$ y $y$ de manera unívoca. ¿Puedes ver cómo hacer eso a partir del conjunto $\{\{x\},\{x,y\}\}$? ¿Puedes ver por qué no podrías hacerlo solo con el conjunto $\{x,y\}$?
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La idea es codificar el orden enumerando sus segmentos iniciales. Siguiendo la misma idea, si quisiéramos codificar un triple $\langle x,y,z\rangle$, podríamos pensar en ello como un orden con $x
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En el sentido de que esta definición puede considerarse una codificación de un par ordenado, realmente contiene un "mensaje oculto" tal como lo dice la última oración de la pregunta. Y debes volver a referirte a esta definición en particular, usándola como una especie de "libro de códigos" para poder "descifrar" $\{\{x\}, \{x,y\}\}$ en el significado previsto del par ordenado $(x,y)$.
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math.stackexchange.com/questions/62908/…
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@AndrésCaicedo: Tu codificación de triple ordenación no funciona -- representa tanto $\langle 0, 0, 1\rangle$ y $\langle 0,1,1\rangle$ como $\{\{0\},\{0,1\}\}$.
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@HenningMakholm Sí, soy consciente de eso. Verás que escribí $x
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Porque $\{\{a\},\{a,b\}\}=\{\{c\},\{c,d\}\}$ si y solo si $a=c$ y $b=d$.
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@LordSharktheUnknown ¿Entonces? Todavía no entiendo la representación de pares ordenados en conjuntos :-(. ¿Es la representación $(b,a)$ del conjunto realmente diferente de $(a,b)$?
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$(a,b)=\{\{a\},\{a,b\}\}=\{\{a,b\},\{a\}\}=\{\{b,a\},\{a\}\}$ nada malo con eso. Pero ninguno de estos es igual a $\{\{b\},\{a,b\}\}$
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$(b,a) = \{\{b\},\{b,a\}\}$; esto es igual a $\{\{a\},\{a,b\}\}=(a,b)$ si y solo si $a=b$.
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@NewStudent $(1,2)=\{\{1\},\{1,2\}\}$ tiene $\{1\}$ como un elemento; $(2,1)=\{\{2\},\{1,2\}\}$ no lo tiene.
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@ArturoMagidin esto tiene sentido. Sin embargo, ¿cómo se ve el orden en la representación de conjuntos de $(a,b)$ o $(b,a)$? ¿Es debido al conjunto con el único elemento y una regla entre nosotros los humanos que dice que esto refleja un par ordenado? Con esta lógica, ¿sería igual el par ordenado $(a,)$ a $\left \{\left \{a\right \},\left \{a,\right \} \right \}$ en cuyo caso el conjunto sería el mismo que $\left \{\left \{a\right \} \right \}$, ¿es correcto?
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No es una regla entre los humanos. Esta definición de par ordenado no es para, de alguna manera, ver el orden en un par, sino más bien con el propósito de cumplir eso: $(a, b) = (c, d) \ \Leftrightarrow \ a = c \, \wedge \, b = d$. Así, $(a, b)$ y $(b, a)$ son desiguales a menos que $a = b$.
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@NewStudent: Se ve porque si $a\neq b$, entonces $\cap(a,b) = \{a\}\cap\{a,b\} = \{a\}$, pero $\cap(b,a) = \{b\}\cap\{b,a\} = \{b\}$. Son conjuntos diferentes cuando $a\neq b.
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Azif00 y @ArturoMagidin gracias. ¿Entonces están diciendo que tiene que ver con la distinción de un par ordenado de otros pares ordenados, verdad? ¿Conocen algún trabajo matemático donde se haya aclarado esto? Estoy insistiendo pero me encantaría leerlo, una simple búsqueda en Google no muestra nada.
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@nuevosestudiante: la "primera coordenada" de $(a,b)$ es igual a $\cap(a,b)$, la intersección de todos los elementos de $(a,b)$. La segunda coordenada es o bien $(\cup (a,b))-(\cap (a,b))$, si esta no está vacía, o igual a la primera coordenada si está vacía.
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Busca "Naive Set Theory" de Paul Halmos. Y existen estas antiguas instituciones llamadas "bibliotecas" donde puedes encontrar copias de él, si por casualidad Google no incluye el respetable libro.
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@ArturoMagidin Tengo ese libro. Ahora mismo no puedo encontrar este par ordenado, pero lo buscaré más tarde. Gracias.
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@ArturoMagidin solo yendo por tu comentario anterior y siendo súper pedante, ¿qué es $\cap (a,b)$? ¿No requiere la operación $\cap$ 2 operandos? ¿O los 2 operandos son $\left \{ a \right \}$ y $\left \{ a,b \right \}$?
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@NewStudent: Te doy la definición en mi respuesta a continuación. También di la definición en el comentario: "la intersección de todos los elementos de $(a,b)$". ¿Lo leíste?
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@ArturoMagidin leyendo y tratando de asimilar...