Por favor, explique la definición de pares ordenados de Kuratowski.

Question

He visto esta definición de Kuratowski para pares ordenados, pero no logro entender por qué implica un orden para $x$ y $y

$(x,y):=\{\{x\}, \{x,y\}\}$

De acuerdo a mi entendimiento de los conjuntos, $\{\{x\}, \{x,y\}\}$ es también $\{\{x,y\}, \{x\}\}$. Solo cuando pienso en el Axioma de Unión es que $\{\{x\}, \{x,y\}\}$ "colapsa" a $S = \{x, y\}$, pero eso tampoco me ayuda mucho. Lo único que puedo ver es algún mensaje aún oculto en el conjunto que dice "Soy el conjunto $\{x,y\}$ y el orden de $x$ primero está indicado al tener $\{x\}$ acompañándome."

Answer 1

Dijiste:

No puedo entender por qué implica un orden para $x$ y $y$

Realmente no lo hace. El $x$ y el $y$ en el par ordenado $(x, y)$ realmente no tienen un orden. ¿Quién dice que el $x$ es primero y el $y$ es segundo? Si lees de derecha a izquierda, dirías que el $y$ fue primero y el $x$ fue segundo.

Lo importante no es cuál es primero. Lo importante es que el conjunto que escogemos para representar $(x, y)$ debe ser diferente del conjunto que representa $(y, x)$, porque estos son pares diferentes.

Como señalaste $\{x, y\}$ es el mismo conjunto que $\{y, x\}$. Pero consideremos los pares de Kuratowski $(x,y)$ y $(y,x)$:

$$\begin{eqnarray} (x,y) = \{\{x\},\{x,y\}\} \\ (y,x) = \{\{y\},\{x,y\}\} \end{eqnarray} $$

Mira, son conjuntos diferentes. Eso es lo que necesitábamos.

La definición de Kuratowski fue precedida por varias otras. La de Felix Hausdorff puede que te haga sentir más cómodo:

$$\begin{eqnarray} (x,y) = \{\{x, 1\}, \{y,2\}\} \\ (y,x) = \{\{y, 1\}, \{x,2\}\} \end{eqnarray} $$

Ahora el orden que querías es explícito.

Pero es importante darse cuenta de que el $1$ y el $2$ aquí son marcadores completamente arbitrarios. ¡Habría funcionado igual de bien para Hausdorff usar algunos marcadores diferentes para indicar cuál componente era la primera:

$$\begin{eqnarray} (x,y) = \{\{x, \text{patata}\},\{y,\text{plátano}\}\}\\ (y,x) = \{\{y, \text{patata}\},\{x,\text{plátano}\}\}\\ \end{eqnarray} $$

Ahora puedes reconocer el primer componente del par porque está asociado con $\text{patata}$.

El punto es que los detalles de la representación particular no son importantes. Solo nos importa que la representación haga lo que necesitamos que haga. Para pares ordenados, necesitamos poder formar el par $(x, y)$ para cualquier $x$ y $y$; necesitamos poder extraer los componentes nuevamente, y crucialmente, necesitamos que $(x,y)$ sea igual a $(a, b)$ si y solo si $x=a$ y $y=b$. Tanto las definiciones de Kuratowski como las de Hausdorff hacen esto, al igual que muchas otras.

No es realmente importante qué definición elijamos. Lo importante es que los objetos que elijamos para representar pares ordenados deben comportarse como pares ordenados. Si logramos eso, estamos satisfechos matemáticamente. La definición de Kuratowski se usa no porque capture alguna esencia básica de la "ternura de par ordenado", sino porque hace lo que necesitamos que haga, que es suficiente.

Answer 2

Solo cómo defines concretamente pares ordenados es un "detalle de implementación". Cualquiera que sea la definición que adoptes solo debe cumplir con un requisito básico: a partir de $\langle x, y \rangle$, debes poder recuperar de manera única cada uno de $x$ y $y$ con funciones (preferiblemente simples) $first(z)$ y $second(z)$.

La construcción de Kuratowski cumple con este criterio.

$first((x,y)) = x$

Observa que $\{x\} = \{x\} \cap \{x,y\} = \bigcap \{\{x\}, \{x,y\}\} = \bigcap z$ donde $z = (x,y)$. Ahora, como para cualquier conjunto, $\bigcup\{x\} = x$. Entonces, si $z = (x,y)$ entonces $x = \bigcup \bigcap z$, por lo que podemos definir $first$ como: $$ first(z) = \bigcup \bigcap z. $$

$second((x,y)) = y

Al hacer la unión obtenemos $\{x,y\} = \{x\} \cup \{x,y\} = \bigcup \{\{x\}, \{x,y\}\} = \bigcup z$ donde $z = (x,y)$. Considera $\{x,y\} \setminus \{x\}$, que en términos de $z$ es $\bigcup z \setminus \bigcap z$. Es igual a $\emptyset$ si $y = x$, y es igual a $\{y\}$ de lo contrario. Entonces en cualquier caso podemos recuperar (devolver) $y$ mediante la definición de: $$ second(z) = \begin{cases} \\ &first(z)&\quad\text{si $\bigcup z \setminus \bigcap z = \emptyset$}, \\ &\bigcup (\bigcup z \setminus \bigcap z) &\quad\text{de lo contrario}, \\ \end{cases}$$

Estas definiciones cumplen con el requisito esencial: $$ z = (x, y) \iff [first(z) = x \text{ y } second(z) = y], $$ y las tres funciones tienen definiciones elementales.

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Un hecho que utilicé repetidamente y que bien podría demostrar: $\bigcup \{x\} = x$.

Para cualquier conjunto $A$, $\bigcup A$ es el conjunto de todas las cosas $z$ que son miembros de alguna cosa $y$ en $A$: es decir, $\bigcup A = \{ z\mid (\exists y\in A)\,z\in y\}$. En notación de "unión de una familia de conjuntos", $\bigcup A = \bigcup_{a\in A} a$. Entonces $\bigcup \{x\} = \{z\mid(\exists y\in \{x\})\,z\in y\} = \{z\mid(\exists y = x)\,z\in y\} = \{z\mid z\in x\} = x$.

Answer 3

El punto del conjunto ordenado es que satisfaga la siguiente propiedad: $$(a,b) = (c,d) \text{ si y solo si }a=c\text{ y }b=d.$$ La definición dada cumple esa condición; no importa cómo la cumple, solo que lo haga.

Es cierto que $(a,b)$ es tanto $\{ \{a\},\{a,b\}\}$ como $\{\{a\}, \{b,a\}\}$ y $\{\{a,b\},\{a\}\}$ y $\{\{b,a\},\{a\}\}$. No importa: todos son el mismo conjunto y todos "son" $(a,b)$. El punto es que $(a,b)=(c,d)$ si y solo si $a=c$ y $b=d$.

Para verificar que esto sucede, nota que si $a=c$ y $b=d$, entonces $$(a,b) = \{\{a\},\{a,b\}\} = \{\{c\},\{c,d\}\} = (c,d).$$

Recíprocamente, supongamos que $(a,b)=(c,d)$. Eso significa que los conjuntos $\{\{a\},\{a,b\}\}$ y $\{\{c\},\{c,d\}\}$ son iguales como conjuntos.

Para verificar que esto implica que $a=c$ y $b=d$, considera dos casos:

Caso 1. $a=b$. Entonces $(a,b) = \{ \{a\},\{a,b\}\} = \{\{a\},\{a,a\}\} = \{ \{a\}\}$.

Como esto es igual a $\{\{c\},\{c,d\}\}$, entonces $\{c\}\in\{\{a\}\}$, lo que significa que $\{c\}=\{a\}$, lo que significa que $c=a$. Y $\{c,d\}\in\{\{a\}\}$, por lo que $\{c,d\} = \{a\}$, por lo tanto $d=a=b$. Así, $a=c$, y $b=d$ en este caso.

Caso 2. $a\neq b$.

Recuerda que si $X$ es un conjunto, cuyos elementos son conjuntos, entonces $$\begin{align*} \cup X &= \bigcup_{S\in X}S\\ \cap X &= \{s\in\cup X\mid s\in S\text{ para todo }S\in X\}. \end{align*}$$

Si $(a,b) = (c,d)$, entonces, como conjuntos, $\cap (a,b) = \cap (c,d)$. Tenemos $$\begin{align*} \cap (a,b) &= \cap\{ \{a\},\{a,b\}\}\\ &= \{a\}\cap\{a,b\} = \{a\}\\ \cap (c,d) &= \cap \{ \{c\},\{c,d\}\}\\ &= \{c\}\cap\{c,d\} = \{c\}. \end{align*}$$ Por lo tanto, $\{a\}=\{c\}$, entonces $a=c$.

Y $\cup (a,b) - \cap (a,b)$ debe ser igual a $\cup(c,d)-\cap(c,d)$, entonces $$\begin{align*} \cup(a,b)-\cap(a,b) &= \cup\{ \{a\},\{a,b\}\} - \{a\}\\ &= (\{a\}\cup\{a,b\})- \{a\}\\ &= \{a,b\} - \{a\} = \{b\};\\ \cup(c,d)-\cap(c,d) &= \cup\{ \{c\}, \{c,d\}\} - \{c\}\\ &= (\{c\}\cup\{c,d\})-\{c\} = \{c,d\}-\{c\} = \{d\}, \end{align*}$$ por lo que debemos tener $\{b\}=\{d\}$, y por lo tanto $b=d$.

En ambos casos, si $(a,b)=(c,d)$, como conjuntos, entonces $a=c$ y $b=d$.

Lo que queremos de un par ordenado. Entonces ahora que sabemos que esta definición garantizará esto, podemos olvidarnos de ella de manera segura en general y simplemente usar la "propiedad definitoria" del par ordenado: $(a,b) = (c,d)$ si y solo si $a=c$ y $b=d$.

Answer 4

Digamos que tienes los pares ordenados $(x, y), (a, b)$, es decir, $\{\{x\},\{x,y\}\}$, lo mismo para el otro.

¿Qué haces si te pregunto si son iguales? Pruebas la igualdad como conjuntos. Resulta que son iguales si y solo si $x=a$ y $y=b$ (¿por qué?).

Answer 5

Definimos $(x, y)$ como $\{\{x\}, \{x, y\}\}$. Esto absolutamente implica un orden: el primer elemento del par ordenado es aquel que aparece por sí solo en un singleton. $(y, x)$ sería $\{\{y\}, \{x, y\}\}$.

Toma $\{\{5\}, \{3, 5\}\}$, por ejemplo. ¿Es eso $(5, 3)$ o $(3, 5)$? La respuesta correcta es completamente inequívoca.