La serie $\sum_{k=0}^\infty z^k $, es fácil ver que converge localmente, pero ¿cómo puedo demostrar que no también converge uniformemente sobre el disco unidad abierto? Sé que convergen uniformemente sobre el disco abierto que $sup{|g(z) - g_k(z)|}$, elemento z del disco unidad abierto, debe ser igual a cero. Sin embargo, estoy averiguando lo difícil demostrar que esta serie no va a cero como k va al infinito. Edit: corregido terminología confusa como se menciona en la respuesta.
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Por alguna razón, yo no era capaz de editar mi respuesta original. De ahí que me dan una nueva, elaborada respuesta.
Original respuesta:
Sugerencia: Para cualquier $k \in \mathbb{N}$ (arbitrario pero fijo), se tiene $$ \frac{1}{{1 - x}} - (1 + x + \cdots + x^k ) > \frac{1}{{1 - x}} - (k + 1), $$ para cualquier $0 < x <1$ (real). Ahora tenga en cuenta que $\lim _{x \to 1^ - } \frac{1}{{1 - x}} = \infty $.
Elaboración: Vamos A $S_k (z) = 1 + z + \cdots + z^k$. Desde $$ \sum\limits_{k = 0}^\infty {z^k } = \frac{1}{{1 - z}},\;\;|z| < 1, $$ tenemos que $S_k$ converge pointwise a$1/(1-z)$$|z| < 1$. Para demostrar que la convergencia no es uniforme en $|z| < 1$, la primera nota de que el conjunto de los números reales $\lbrace 0 < x < 1 \rbrace$ es un subconjunto de a $\lbrace |z| < 1 \rbrace$. Por lo tanto, dado $k \in \mathbb{N}$, arbitrario pero fijo, $$ \mathop {\sup }\limits_{|z| < 1} \bigg|\frac{1}{{1 - z}} - S_k (z) \bigg| \ge \mathop {\sup }\limits_{0 < x < 1} \bigg|\frac{1}{{1 - x}} - S_k (x) \bigg|. $$ De $$ \frac{1}{{1 - x}} - S_k (x) > \frac{1}{{1 - x}} - (k + 1), \;\; 0 < x < 1, $$ y $\lim _{x \to 1^ - } \frac{1}{{1 - x}} = \infty $, obtenemos $$ \mathop {\lim }\limits_{x \1^ - } \bigg(\frac{1}{{1 - x}} - S_k (x)\bigg) = \infty. $$ Por lo tanto, también $$ \mathop {\sup }\limits_{0 < x < 1} \bigg|\frac{1}{{1 - x}} - S_k (x) \bigg| = \infty $$ y, a su vez, $$ \mathop {\sup }\limits_{|z| < 1} \bigg|\frac{1}{{1 - z}} - S_k (z) \bigg| = \infty. $$ Por lo tanto, desde el $k \in \mathbb{N}$ es arbitrario, $S_k$ no converge uniformemente a$1/(1-z)$$|z| < 1$.
Did
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Esto es una simple consecuencia del hecho de que cada función $S_k:x\mapsto1+x+\cdots+x^k$ es limitada mientras que la función de límite $S:x\mapsto1/(1-x)$ no.
Por lo tanto cada función $S_k-S$ es ilimitada, es decir, la norma sup $S_k-S$ es infinita, en particular la secuencia de las sup-normas no converge a cero. Esta última afirmación es equivalente al hecho de que $(S_k)$ no converge uniformemente a $S$.
user3035
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El $n$ésima suma parcial de la serie es $S_n(z) = {\displaystyle\sum_{k=0}^n z^k = {1 - z^{n+1} \over 1 - z}}$, mediante la suma de la fórmula para la serie geométrica. La suma de la serie general es ${\displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} z^k = {1 \over 1 - z}}$.
Decir que la serie converge uniformemente hasta el límite en el disco, es decir que $S_n(z)$ converge uniformemente a ${\displaystyle {1 \over 1 - z}}$ sobre el disco. En otras palabras, usted tiene convergencia uniforme si para cada a $\epsilon > 0$ hay un $N$ que si $n > N$, para todos los $z$ $|z| < 1$ $$ |S_n(z) - {1 \over 1 - z}| < \epsilon$$ Pero $$|S_n(z) - {1 \over 1 - z}| = |{1 - z^{n+1} \over 1 - z} - {1 \over 1 - z}|$$ $$ = |{-z^{n+1} \over 1 - z}|$$ $$= {|z|^{n+1} \over |1 - z|}$$ Así que la pregunta es: ¿es cierto que para cada $\epsilon > 0$ hay un $N$ que si $n > N$, para todos los $z$ $|z| < 1$ $${|z|^{n+1} \over |1 - z|} < \epsilon $$ Pero esto es evidentemente falso. Para cualquier $n$, el límite de ${\displaystyle \lim_{x \rightarrow 1^-}{x^{n+1} \over 1 - x} = \infty}$, por lo que no hay $n$ que ${|z|^{n+1} \over |1 - z|} < \epsilon $ tiene para todos los $z$$0 < z < 1$, mucho menos para todas las $z$ en la unidad de disco. Así convergencia uniforme no se sostiene.
Oli
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Confine la atención real $x$ en el intervalo $0<x aproximar="" de="" el="" error="" es="" la="" para="" que="" si="" suma="" truncamiento="" usamos="">x^n$.</x>
Elegir un % positivo $\epsilon$, donde por conveniencia $\epsilon\frac{|\ln(\epsilon)|}{|\ln(x)|}.$desde $\ln x \to 0$ $x \to 1^{-}$, el % requerido $n$crece sin límite como $x\to 1^{-}$.
JiminyCricket
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Si puedo tomar su redacción, literalmente, su dificultad puede provenir del hecho de que usted confunde el supremum va a cero con la serie que van a cero pointwise. Esta es precisamente la diferencia entre la convergencia y la convergencia uniforme. La expresión $|g(z)-g_k(z)|$ a cero para todos los $z$ en la unidad de disco, pero el supremum no. (Estoy asumiendo que por $g(z)$ que te refieres a la serie y por $g_k(z)$ $k$- ésima suma parcial; la pregunta debería introducir la notación utilizada si no obviamente estándar.)
