Demostrando que la dimensión de un complejo CW está bien definida.

Question

Esta es la página 204 de Rotman es Una Introducción a la Topología Algebraica. Después de algunos primaria definiciones y hechos acerca de CW copmlexes, el ejercicio 8.27 pregunta:

Definir la dimensión de un CW complejo de $(X,E)$ $$\mbox{dim }X=\mbox{sup}\{\mbox{dim}(e):e\in E\}.$$ If $E'$ is another CW decomposition of $X$, show that $(X,E)$ and $(X,E')$ tienen la misma dimensión.

Mi intento: distinguir, vamos a escribir $\mbox{dim }(X)$$(X,E)$$\mbox{dim' }(X)$$(X,E')$. Primero considere el caso en que ambas dimensiones son finitos, decir $\mbox{dim }(X)=m$ $\mbox{dim' }(X)=n$ y asumir la contradicción que $m<n<\infty$ mantiene. Elegir un $n$-cell $e'$ $(X,E')$ a que se debe abrir en $X$ ya que es de mayor dimensión en $E'$. Visualización de $X$ $(X,E)$, $e'$ cumple con algunas de las células en $E$ trivial, así que vamos a $e$ ser un celular en $E$ con la máxima dimensión. Ahora tenemos $k=\mbox{dim}(e)\leq m<n$.

Ahora lo que quiero mostrar es que la intersección $e'\cap e$ debe estar abierto en $X$, pero no puedo continuar. Creo que después de este hecho se ha establecido, se puede utilizar la Invariancia de Dominio para concluir fácilmente que $k<n$ da una contradicción: $e'\cap e$ es homeomórficos a algún subconjunto abierto de $\mathbb{R}^{n}$ y para algún subconjunto abierto de $\mathbb{R}^{k}$ al mismo tiempo.

Es cierto que para mi elección de $e',e$, la intersección $e'\cap e$ está abierto en $X$? (Yo creo firmemente que este es el caso!) Y ¿cómo se debe cuidar el caso de la dimensión infinita, decir $n=\infty$? (en el que caso de que no podamos elegir abrir $e'$ tan fácilmente...). Cualquier ayuda se agradece.

Por favor me ilumine.

EDIT: OK, me di cuenta de que la intersección debe ser abierta en $X$. Así que la única pregunta que queda es acerca de cómo manejar el caso de $n=\infty$.

Answer 1

Aquí es una manera de dar un manifiestamente homeomorphism invariante en la definición de la dimensión de CW-complejos, y así mostrar que la definición es independiente de la estructura de CW. La idea es básicamente la misma que en su enfoque, pero creo que es un poco más limpio. Yo reclamo que $X$ tiene dimensión $\geq n$ fib existe una incrustación de un $n$-simplex $\Delta^n$$X$.

Claramente si $X$ tiene un celular de dimensión $\geq n$, entonces podemos incrustar $\Delta^n$ en el interior de la célula y por lo tanto en $X$. Por el contrario, supongamos $i:\Delta^n\to X$ es una incrustación. Desde $\Delta^n$ es compacto, la imagen de $i$ está contenida en un número finito de subcomplejo de $X$. Deje $e\subseteq X$ libre de células de la máxima dimensión (por ejemplo, $m$) que cruza la imagen de $i$. Por maximality de la dimensión de $e$, $i^{-1}(e)$ está abierto en $\Delta^n$. En particular, contiene un abierto de la bola en el interior de $\Delta^n$. La restricción $i$ a este open de bola y la identificación de $e$$\mathbb{R}^m$, obtenemos una incrustación de $\mathbb{R}^n$ a $\mathbb{R}^m$. Por la invariancia del dominio, esto sólo es posible si $m\geq n$.