¿Por qué este espacio cociente no es Hausdorff?

Question

Intento demostrar que el siguiente espacio no es Hausdorff. Consideremos el espacio topológico $S^1$ y que $r$ sea un número irracional. Consideremos la acción de $\mathbb{Z}$ en $S^1$ dada por $$ S^1\times\mathbb{Z}\to S^1; (e^{ix}, n)\mapsto e^{i(x+2\pi n r)}. $$ Sea $S^1/\mathbb{Z}$ denotan el espacio orbital. Quiero demostrar que este espacio es no Hausdorff.

Se me sugirió que intentara demostrar que cualquier órbita bajo esta acción es densa en $S^1$ pero me estoy atascando en probar esa parte. Pero esto es lo que estaba pensando: sabemos que el grupo topológico $\mathbb{R}/2\pi \mathbb{Z}$ es homeomorfo a $S^1$ según el mapa $t\mapsto e^{it}$ . Denotemos la siguiente composición de mapas $$ \mathbb{R}\to \mathbb{R}/2\pi \mathbb{Z}\simeq S^1\to S^1/\mathbb{Z} $$ por $\phi$ . Entonces, si $[e^{ix}]\in S^1/\mathbb{Z}$ se deduce que $$ \phi^{-1}([e^{ix}]) = \{x+2\pi(nr+m)\mid n, m\in\mathbb{Z}\}. $$ Si puedo demostrar que este subconjunto es denso en $\mathbb{R}$ se deduce que el conjunto $[x]$ como subconjunto de $S^1$ es denso. Aquí es donde me estoy atascando, y ni siquiera tengo claro que esto sea necesariamente cierto.

Agradeceremos cualquier consejo o sugerencia. Gracias.

Answer 1

Basta con demostrar que $\{nr\bmod 1:n\in\Bbb Z\}$ es denso en $[0,1)$ donde $x\bmod 1=x-\lfloor x\rfloor$ . Esto es cierto precisamente en el caso $r$ es irracional. Que es falso para racional $r$ es obvio, así que supongamos que $r$ es irracional. Sea $m$ cualquier número entero positivo. Por el principio de casillero debe haber distintos $i,j\in\{1,\dots,m+1\}$ y $k\in\{0,\dots,m-1\}$ tal que $\frac{k}m\le ir\bmod 1,jr\bmod 1<\frac{k+1}m$ . Entonces $|(j-i)r|\bmod 1<\frac1m$ por lo que cada punto de $[0,1)$ está dentro de $\frac1m$ del conjunto $\{n(j-i)r\bmod 1:n\in\Bbb Z\}$ y se deduce inmediatamente que $\{nr\bmod 1:n\in\Bbb Z\}$ es denso en $[0,1)$ .