Estoy teniendo problemas con que $$ \lim_{n\rightarrow \infty} \frac{\sqrt{1}+\sqrt{2}+\sqrt{3}+...+\sqrt{n}-\frac23n\sqrt{n}}{\sqrt{n}} = \frac12. $$ He intentado esto pero no soy capaz de solucionar el problema.
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medicu
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Aplica Stolz-Cesaro Teorema: $$ \lim_{n\rightarrow \infty} \frac{\sqrt{1}+\sqrt{2}+\sqrt{3}+.....+\sqrt{n}-\frac23n\sqrt{n}}{\sqrt{n}} = \lim_{n\rightarrow \infty}\frac{\sqrt{n+1}-\frac{2}{3}(n+1)\sqrt{n+1}+\frac{2}{3}n\sqrt{n}}{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}=\frac{1}{3}\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{2n\sqrt{n}-(2n-1)\sqrt{n+1}}{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}=\frac{1}{3}\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{4n^3-(2n-1)^2(n+1)}{2n\sqrt{n}+(2n-1)\sqrt{n+1}}(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})=\frac{1}{3}\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{(3n-1)(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})}{2n\sqrt{n}+(2n-1)\sqrt{n+1}}=\frac{1}{3}\cdot\frac{3}{2}=\frac{1}{2}. $$
