¿Por qué la distancia y su plaza de alcanzar su mínimo en el mismo punto?

Question

Hay una pregunta en mi libro de texto de cálculo que le pide a encontrar un punto en la parábola $y^2 = 2x$ que es la más cercana a punto de $(1,4)$.

Nos quieren para la primera utilización de la fórmula de la distancia, pero luego se procedió a la plaza dejando a nos con $d^2 = (y^2/2 - 1)^2 + (y-4)^2$.

Estoy siguiendo las matemáticas hasta este punto, donde me pierdo es cuando el libro de los estados "deben convencerse de que el mínimo de $d^2$ se produce en el mismo punto que el mínimo de $d$, pero $d^2$ es más fácil trabajar con él".

No entiendo cómo esto puede ser cierto en absoluto, $d$ es una distancia entre un punto fijo y otro punto en la gráfica $y^2 = 2x$. $d^2$ debe ser que la distancia de escala por sí mismo, ¿cómo puede el mínimo sea de la misma, entonces? He trabajado fuera de las matemáticas para $d$ $d^2$ y me pongo el mismo punto, pero no entiendo por qué.

Answer 1

Si usted quiere averiguar cual de $\sqrt{2}$ $\sqrt{3}$ es el más pequeño, usted puede hacer esto simplemente comparando $2$ $3$ lugar. Más generalmente, si usted desea hacer una raíz cuadrada tan pequeño como sea posible, usted puede hacer esto haciendo lo que está debajo de la raíz cuadrada tan pequeño como sea posible.

Answer 2

Esto no tiene nada que ver con derivados, ni epsilons; es pura lógica.

Si usted tiene una función de $f:\>P\to{\mathbb R}_{\geq0}$ definida en un conjunto a $P$ (de una parábola en el plano) y estrictamente creciente en función ${\rm sqr}:\>{\mathbb R}_{\geq0}\to{\mathbb R}_{\geq0}$, entonces la función de $$g:={\rm sqr}\circ f:\quad P\to{\mathbb R}_{\geq0},\qquad x\mapsto{\rm sqr}\bigl(f(x)\bigr)$$ satisface $$g(x)>g(y)\quad\Leftrightarrow\quad f(x)>f(y)\qquad\qquad\forall x,\>y\in P\ .$$ De ello se sigue que las funciones de $f$ $g$ tomar sus extremos en los mismos puntos de $P$.

Answer 3

Si $x \ge 0$$y \ge 0$$x \le y \iff x^2 \le y^2$.

Así como las distancias son mayores o iguales a 0, la distancia es menor o igual a otra si y sólo su cuadrado es menor o igual que el otro de la plaza.

Así que como $\min distance$ (en términos de $x$) es el menor valor posible, se producirá en el mismo $x$ cuando la $\min distance^2$, el menor valor posible de las plazas, se produce.

Eso es todo allí está a él.

Answer 4

No se trata de una rigurosa explicación, pero uno de los que se espera intuitivamente tiene sentido.

Suponga que usted está minimizando la distancia entre algunos curva de $f(x)$ y un punto de $(x_0,y_0)$. No podríamos saber lo que la distancia mínima es, pero sabemos que es un valor de $d$ donde $d\in\mathbb{R}$. Ya que estamos suponiendo que el $d$ es el valor mínimo, sabemos que todos los otros puntos en $f(x)$ estará más lejos de$(x_0,y_0)$, por lo que sus distancias desde el punto de se $d+\epsilon$ donde $\epsilon\in\mathbb{R^+}$.

Ahora vamos a comparar nuestros distancia mínima $d$ con las otras distancias $d+\epsilon$ elevando al cuadrado cada uno.

$$d^2=d^2$$ $$(d+\epsilon)^2=d^2+2d\epsilon+\epsilon^2$$

Desde $\epsilon$ es un valor positivo, podemos decir con certeza que de $d^2<d^2+2d\epsilon+\epsilon^2$, y por lo tanto, trabajar con el cuadrado de la distancia, el resultado de hallar la distancia mínima.

Answer 5

Supongamos que tengo dos cajas, una con $M>0$ de dólares, una con $N>0$ dólares. Yo no te digo lo $M$$N$, pero sólo eso $M^2 > N^2$. Que caja tiene más dinero? El cuadro de con $M$ de dólares, debido a que al comparar dos números positivos, basta comparar sus plazas. El uno con el cuadrado más grande es más grande.