¿Por qué algunas ecuaciones diferenciales pueden resolverse mientras que otras similares no?

Question

Tome una ecuación

$$w'+w-w^2-1=0$$

Su solución es

$$w(x)=\frac{\sqrt{3}}{2} \tan \left( \frac{\sqrt{3}}2 C+\frac{\sqrt{3}}2 x\right)+\frac12$$

Me pregunto por qué una ecuación de diferencia similar

$$\Delta w+w-w^2-1=0$$

no puede resolverse?

Answer 1

ACTUALIZACIÓN :

Empecemos por mostrar una solución de la ecuación en diferencia : $$\Delta w+w-w^2-1=0$$ al menos si esto significa $\ (w_{n+1}-w_n)+w_n=w_n^2+1$ porque : $$w_{n+1}=w_n^2+1$$ admite la solución (para el caso concreto $w_0=1$ ) : $$w_n=\lfloor c^{2^n}\rfloor,\\\text{with}\quad c=\exp\left|\sum_{j=0}^\infty 2^{-j-1}\ln(1+w_j^{-2})\right|,\\c\approx 1.5028368010497564997529364237321694087388717439635793$$ Esta solución y otras son casos específicos de la mapa cuadrático .
Añadiré que otros valores iniciales enteros de $w_0$ puede ser manejado con este método (para $w_0=2$ por ejemplo, sólo tenemos que sustituir $c$ por $c^2$ ).

Algunos pueden objetar que hay algún tipo de trampa aquí, ya que $c$ se "construye" con los primeros términos pero así es la vida...

El artículo original de 1973 de Aho y Sloane "Some doubly exponential sequences" está disponible aquí ( La máquina del retroceso )

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Ahora trataré de considerar la verdadera cuestión con un poco más de cuidado...

Observemos primero que tanto el problema diferencial como el de diferencias son ambos no lineales... No linealidad significa no sólo que las soluciones generales no pueden obtenerse sólo por superposición de unas pocas soluciones, sino que a menudo las soluciones de forma cerrada sólo existirán para condiciones iniciales específicas (si es que existen...).

No voy a desarrollar más el interesantísimo tema de sistemas dinámicos y caos que pueden aparecer para algunos sistemas (o parámetros), pero observe que $w_{n+1}=w_n^2+c$ con $c$ un número complejo genera un fractal: el famoso Conjunto de Mandelbrot (véase también el enlace del mapa cuadrático). Como señala Gerry, tu ecuación diferencial era separable (y se resolvía), pero basta con añadir $+i$ al final añade algo interesante efectos ...

Llegados a este punto, debo admitir que todas estas divagaciones siguen sin responder a tu pregunta, ya que has anotado la solución de la O.D.E. y has preguntado por qué no se puede resolver la ecuación de la diferencia. De hecho, la ecuación de la diferencia se puede resolver: empieza con $w_0$ y utilizar las iteraciones para obtener los siguientes valores. Pero está claro que querías una forma cerrada para el enésimo término. La ecuación en diferencia se utiliza a menudo como una aproximación del sistema diferencial, pero la dinámica sólo es similar a pequeña escala : la $\tan$ va a $\infty$ después de un tiempo fijo, la ecuación de la diferencia se eleva al cuadrado en cada iteración y necesitará un tiempo infinito para ir a $\infty$ .

Otra buena ilustración de estas diferencias puede verse en Wolfram La ecuación de la diferencia da círculos mientras que la ecuación de la diferencia da espirales (cuanto más cortos sean los pasos más cerca estaremos de un círculo pero nunca será un círculo...).

ADICIONES :

Interpretemos el cuadro :

• en el caso diferencial: se obtienen órbitas regulares muy simples en el plano de fase ( $x,\ x'$ ) (es un problema unidimensional con la posición en la parte inferior y la velocidad en la parte vertical). Físicamente esto puede representar oscilaciones unidimensionales con varias amplitudes (en el medio hay un punto fijo sin ninguna oscilación). Entonces tenemos el sistema más simple con conservación de energía (las oscilaciones nunca se detendrán ni cambiarán).
• en el caso diferencial : se obtienen órbitas que se parecen localmente un poco al caso diferencial pero con una topología muy diferente : ¡las órbitas no se cierran sobre sí mismas, las oscilaciones se amplifican sin fin a medida que pasa el tiempo, la energía no se conserva sino que aumenta (disminuye) en su lugar (excepto para el punto fijo central)! De hecho, este es un problema frecuente con las simulaciones numéricas más elaboradas (utilizando métodos de diferencias o sus homólogos más sofisticados como Runge-Kutta, predictor-corrector y demás...) : el modelo se calienta cada vez más (las galaxias simuladas pierden su estabilidad y explotan...). El paso de los sistemas continuos a los discretos debe realizarse siempre con cuidado.

¡Nótese que a veces el sistema discreto será mucho más simple que el continuo, de hecho simplemente deben considerarse como diferentes (globalmente aunque localmente sean tan parecidos como se quiera) de modo que incluso la existencia de una solución analítica en un caso a menudo no estará relacionada con ninguna forma cerrada del otro!

Espero que todo esto haya ayudado más,