Resolución de ecuaciones lineales independientes

Question

\begin{align} &{-}2y+2z-1=0 \tag{4} \\[4px] &{-}2x+4y-2z-2=0 \tag{5} \\[4px] &\phantom{-2}x-y+3/2=0 \tag{6} \end{align}

La ecuación (6) es la suma de (4) y (5). Sólo hay dos ecuaciones independientes. Poner a $z=0$ en (5) y (6) y resolviendo para x y y, tenemos \begin{align} x&=-2 \\[4px] y&=-1/2 \end{align}

• la ecuación (6) es la suma de (4) y (5): OK, yo lo veo

• Sólo hay dos ecuaciones independientes: no me llega; ¿qué significa esta frase significa?

• Poner a $z=0$ en (5) y (6): ¿por qué poner z=0 en la ecuación (5) y (6)?

Por favor ayuda

Answer 1

Cualquier valor dado de a $x$, $y$ e $z$ que satisfacen las ecuaciones (4) y (5) también satisface la ecuación (6). Así que la última ecuación nos da ninguna información nueva.

El hecho de que $z$ desaparece si se suma (4) y (5) significa que es "libre": podemos asignarle cualquier valor y determinar los valores adecuados para $x$ e $y$ que satisfacen las ecuaciones.

El uso de $z=0$ le dará una solución para el sistema, pero tiene infinidad de soluciones, una para cada valor dado de a $z$.

Por ejemplo, si utilizamos $z=1$, obtenemos $x=-1$ e $y=1/2$.

La solución general es \begin{cases} x=-2+z \\[4px] y=-\dfrac{1}{2}+z \end{casos}

Answer 2

(Esto es demasiado largo para un comentario, para que los publique como una solución).

Con el fin de resolver cualquier ecuación con múltiples variables, una buena manera de acercarse es pensar en la cantidad de "información" de cada ecuación se da.

Vemos la primera ecuación, por lo que nos da una información. La segunda nos da una información de segunda, porque no puede ser derivado de la información anterior.

Pero buscando en la tercera ecuación de (o el número 6), vemos que se puede obtener este resultado mediante la adición de las dos ecuaciones anteriores juntos. Por lo tanto, no nos dan ninguna información nueva. Ahora tenemos tres incógnitas y dos ecuaciones que nos dan información acerca de ellos. Estas dos ecuaciones son independientes, porque ellos nos dan información acerca de las variables. La tercera ecuación es una combinación lineal de los otros dos, así que NO es independiente de los otros dos.

Porque tenemos dos ecuaciones y tres incógnitas, tenemos una cantidad infinita de soluciones. Al parecer, en el ejemplo, estamos interesados en la obtención de al menos uno de ellos. Debido a la linealidad de las ecuaciones, nosotros somos libres para establecer cualquier valor para cualquiera de las variables, y vamos a obtener los otros dos. En este caso, el autor ha decidido establecer $z=0$ con el fin de obtener una solución.

Answer 3

También se puede pensar de la siguiente manera.

• La única variable de la ecuación lineal que representa un único punto.

• Una de dos variables lineales ecuación representa una línea. Si hay dos variables ecuaciones lineales, su solución es el punto de intersección de ellos, ya que ambas ecuaciones son independientes.

• Una de tres variables lineal de la ecuación representa un plano. Si hay 3 tres variables de las ecuaciones, la solución es el punto de intersección de ellos mientras son independientes.

Así que si usted tiene dos 3-variable de ecuaciones lineales (o tres 3-variable de ecuaciones lineales en los que dos de ellos son dependientes), usted no puede obtener un único punto de intersección, sino una colección de puntos que están sobre una línea, por ejemplo, $x+y+5/2=0$ en su caso.