Considere dos puntos $a, b \in \mathbb{R}^2$ . Entonces, desde la geometría elemental, el conjunto de puntos que son equidistantes de ambos $a$ y $b$ es precisamente la mediatriz del segmento de línea $ab$ . Ahora supongamos que ponemos alguna otra métrica en $\mathbb{R}^2$ que genera la topología estándar. Entonces, ¿qué podemos decir sobre el conjunto de puntos que son equidistantes de $a$ y $b$ ? Intuitivamente, me parece que este conjunto debe ser "unidimensional" y no puede contener un conjunto abierto. ¿Es esto cierto?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Una pregunta muy interesante.
Métrica
Para una métrica arbitraria en $\mathbb{R}^2$ que genera la topología euclidiana, el conjunto de todos los puntos que equidistan de $2$ puntos distintos no tiene que ser necesariamente "unidimensional".
Considere la métrica $d(p,q)=\min\{\|p-q\|_2,1\}$ donde $\|(x,y)\|_2=\sqrt{x^2+y^2}$ es la norma euclidiana. Convénzase de que se trata de una métrica (no negativa, no degenerada, simétrica, desigualdad de triángulos) Sin embargo, para dos puntos cualesquiera, sólo hay un conjunto acotado (en el sentido de la métrica euclidiana) de puntos que no son equidistantes de ellos.
Normas
Aunque exijamos que nuestra métrica sea inducida a partir de una norma, el conjunto de puntos equidistantes no tiene por qué ser "unidimensional".
Considere la norma $\|(x,y)\|_\infty=\max\{|x|,|y|\}$ . Convénzase de que se trata de una norma. (no negativo, no degenerado, escalado, desigualdad de triángulos) Sin embargo, si tomamos los puntos $(1,0)$ y $(-1,0)$ entonces todos los puntos $(x,y)$ con $1-y\leq x\leq y-1$ son equidistantes de $p$ y $q$ .
Normas estrictamente convexas
Sin embargo, si exigimos que nuestra métrica sea inducida a partir de una norma estrictamente convexa, entonces podemos demostrar que el conjunto de puntos equidistantes es homeomorfo a $\mathbb{R}$ . Estrictamente convexo significa que no hay ningún segmento de línea en la esfera unitaria. Algebraicamente, para todo $p\neq q$ con $\|p\|=\|q\|=1$ tenemos $\|p+q\|<2$ . Los ejemplos de normas estrictamente convexas son todos $p$ -normas para $1<p<\infty$ .
Prueba (No es muy riguroso, pero espero que sea lo suficientemente convincente).
Dejemos que $\|\cdot\|$ sea una norma estrictamente convexa sobre $\mathbb{R}^2$ y que $p\neq q\in\mathbb{R}^2$ . Definir $s:=\|p-q\|$ .
Reclamación 1 Para todos $r\geq\frac{s}2$ a cada lado (no estricto) de la línea que atraviesa $p$ y $q$ hay exactamente un punto equidistante de $p$ y $q$ con la distancia $r$ .
Prueba de la reclamación 1 Supongamos por el contrario que hay dos puntos distintos $a$ y $b$ a la derecha de la línea que atraviesa $p$ y $q$ , ambos equidistantes de $p$ y $q$ con la misma distancia $r$ . Entonces encontramos que todos los puntos $p-a$ , $p-b$ , $q-a$ y $q-b$ y sus inversas se encuentran en la esfera de radio $r$ . Sin embargo, todos los segmentos de línea $(p-a)(p-b)$ , $(q-a)(q-b)$ , $(b-p)(a-p)$ y $(b-q)(b-q)$ son diferentes, son paralelos y tienen la misma longitud. Nos vemos obligados a concluir que hay un segmento de línea dentro de la esfera de radio $r$ . Esto demuestra la afirmación 1.
Obsérvese que de la desigualdad del triángulo se deduce que para $r<\frac{s}2$ no hay puntos equidistantes de $p$ y $q$ con la distancia $r$ . Obsérvese también que hay un único punto en la línea que pasa por $p$ y $q$ equidistante de $p$ y $q$ , a saber $\frac{p+q}2$ con la distancia $\frac{s}2$ . Se deduce que podemos definir una biyección $f:\mathbb{R}\to E$ , donde $E$ es el conjunto de puntos que equidistan de $p$ y $q$ . A saber: $f(0)=\frac{p+q}2$ , $f(t>0)$ es el único punto a la derecha de la línea que pasa por $p$ y $q$ equidistante de $p$ y $q$ con la distancia $\frac{s}2+t$ y $f(t<0)$ es el único punto a la izquierda de la línea que pasa por $p$ y $q$ equidistante de $p$ y $q$ con la distancia $\frac{s}2-t$ .
No tengo ni idea de cómo se puede demostrar rigurosamente que $f$ es continua en ambos sentidos, pero esta es mi intuición. Como la norma es estrictamente convexa, para todo $\epsilon>0$ las esferas alrededor de $p$ y $q$ a través de la curva del punto equidistante actual alejándose unos de otros $\delta>0$ unidades. Entonces, cambiando el radio por $\delta$ sólo puede mover la intersección de las esferas $\epsilon$ unidades.
Notas finales
Por último, quiero destacar la importancia de esta convexidad estricta. Si la norma no es estrictamente convexa, siempre se pueden encontrar dos puntos $p$ y $q$ para el que el espacio de equidistancia no es "unidimensional". Basta con tomar los puntos extremos del segmento de línea en la esfera unitaria.
