Tomando un no probado pero "aparentemente verdadera" declaración como axioma

Question

Lo siento por este inculto pregunta, pero he estado pensando en esto por un par de horas y no pude encontrar nada sobre el tema. Tal vez es sólo un error de mi parte y una limitación de mi experiencia, pero suponiendo que no:

Podemos tomar algo como Goldbach la conjetura como un axioma, y partir de ahí para probar nuevos teoremas? ¿Esto nunca sucede, o hacer matemáticos construir estructuras de ambos supuestos (una estructura asume que la conjetura es verdadera y una falsa, y luego ir a la acumulación de teoremas y estructuras adicionales de allí).

Yo uso Goldbach la conjetura como un ejemplo porque tiene una gran cantidad de "pruebas" (en realidad no, pero tal vez empíricamente, aunque las matemáticas no tiene nada que ver con el empirismo, estoy usando Goldbach pero podríamos utilizar cualquier conjetura) errar en el lado de la verdad, así que tal vez suponiendo que esto es cierto, entonces, que va a utilizar para probar otras cosas, puede resultar en algo bastante los resultados. Si resulta que la conjetura es falsa, que acaba de lanzar fuera de los resultados y del sistema. Pero suponiendo que un sistema que incluye "Goldbachs conjetura es verdadera", como un axioma es consistente, entonces ¿por qué no hemos de ser capaces de utilizar el sistema? Hacer matemáticos vuelvas a hacer esto, o se considere la posibilidad de mala forma (puedo ver por qué esto sería totalmente prohibido).

Básicamente, se podría decir "supongamos Goldbach la conjetura es verdadera. Entonces..." y vaya uno a acumular libros de matemáticas y los resultados y teoremas usando esto?

Answer 1

He visto que esto ocurre con la hipótesis de Riemann (aunque sea de segunda mano, no he mirado en ello, pero fue mencionado en Numberphile).

Parece que en general se cree que la hipótesis de Riemann es "probablemente cierto", incluso a pesar de que la prueba se evade de nosotros (obviamente). Sin embargo, un número de pruebas de la bisagra en esto", Asumiendo la hipótesis de Riemann es verdadera, entonces (este resultado) es true," o algo de ese sabor.

Eso es parte de por qué una prueba de la hipótesis de Riemann es en realidad tan buscado como para justificar un millón de dólares de recompensa - debido a demostrar la hipótesis de Riemann, a su vez probar un montón de otros teoremas que depender de su verdad.

Así que supongo que entre los matemáticos que esto sería "kosher", pero generalmente sólo con resultados que son considerados como "probablemente cierto", incluso si la prueba se evade de nosotros.

Me ha hecho responder a otra pregunta, el otro día aquí en MSE que preocuparse de si el producto infinito

$$\prod_{k=1}^\infty 10^k = 0$$

Obviamente falsa en la "costumbre de la topología de $\mathbb{R}$", sino como un comentarista señaló en el momento en que no era imposible que en el resto de las topologías de los reales que el resultado podía ser cierto. De tal manera, parece que se asume un "obviamente falso" resultado ser cierta podría resultar en que, si nada más, algunas discusiones interesantes.

Todo esto es el principio de que sólo soy un aficionado, soy un estudiante, no un matemático profesional, así que soy todo lo que yo sé y he visto y extrapolando a partir de allí. (Para todos los que conozco, es de mal gusto para asumir la hipótesis de Riemann cierto, por ejemplo, yo no lo sé.) Así que toma este último párrafo como un gran ol' "grano de sal" de advertencia.

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Un menor nota de pie de página, pero está diciendo que usted lo tomaría como un "axioma" válido? Si los otros axiomas de refutarla, de alguna manera, esto presenta un problema, ¿no? Aunque supongo que se podría reemplazar sólo los axiomas que refutar con otros que no... no estoy seguro, esto ya es un poco por encima de mi cabeza así que me voy a callar.