¿Cómo se calcula la presión en el universo temprano?

Question

Estoy tratando de calcular el sonido horizonte desde el principio de los tiempos a la disociación. Para ello necesito saber la velocidad del sonido y cómo cambia a medida que el universo crece. La velocidad del sonido en un fluido es:$$c_s^2=\frac{\partial p}{\partial \rho}$$Where $c_s^2$ is the speed of sound, $p$ is the pressure, $\rho$ is the density. I think I have a handle on calculating the density:$$\rho(z)=\Omega_b h^2 \rho_{crit} (z+1)^3 \space g\space m^{-3}$$Pero no tengo idea de cómo se calcula la presión. Estoy suponiendo que la presión era principalmente fotónicos hasta el momento de la desvinculación, pero estoy teniendo problemas para encontrar material de referencia.

También, intuitivamente me gustaría pensar que la presión iba a caer en exacta proporción a la densidad, ya que ambos están relacionados con el cambio en el volumen. Por lo tanto, es suficiente para encontrar la presión en el momento de la desvinculación y dividir por la densidad y utilizarlo como una constante?

Answer 1

Antes de la recombinación de los bariones y fotones son altamente acoplados y actuar como un solo fluido, por lo que la densidad es $\rho = \rho_{\rm bar} + \rho_\gamma$, con la habitual escala $\rho_{\rm bar} \sim (1 + z)^{3}$ e $\rho_{\gamma} \sim (1 + z)^{4}$. Sin embargo, la presión es la misma para ambos componentes $P = P_{\rm bar} = P_{\gamma}$, esto conducirá a

$$ c_s^2 = \frac{c^2}{3}\left[\frac{3}{4}\frac{\rho_{\rm bar}}{\rho_\gamma} + 1\right)^{-1} \etiqueta{1} $$

Para derivar esta expresión recuerda que en un campo uniforme $P_{\gamma} = \rho_\gamma c^2 / 3$ , de modo que el adiabático velocidad del sonido es de

$$ c_s^2 = \left( \frac{\partial P}{\parcial \rho}\right)_S = \frac{c^2}{3} \left.\frac{\partial \rho_\gamma}{\partial(\rho_\gamma + \rho_{\rm bar})}\right|_S = \frac{c^2}{3}\left[1 + \left(\frac{\partial \rho_{\rm bar}}{\partial \rho_\gamma}\right)_S \right)^{-1}\etiqueta{2} $$

Necesitamos calcular el $(\partial \rho_{\rm bar}/\partial \rho_\gamma)_S$. Y para ello podemos usar el hecho de que $\rho_{\rm bar}\sim a^{-3}$ e $\rho_{\gamma}\sim a^{-4}$ así

$$ \frac{\partial \rho_\gamma}{\rho_\gamma} = -4 \frac{\partial}{a} ~~~\mbox{y}~~~\frac{\partial \rho_{\rm bar}}{\rho_{\rm bar}} = -3 \frac{\partial}{a}~~~\Rightarrow~~~ \frac{\partial \rho_{\rm bar}}{\parcial \rho_\gamma} = \frac{3}{4}\frac{\rho_{\rm bar}}{\rho_\gamma} \etiqueta{3} $$

Si usted sustituir (3) en (2) se obtendrá (1)