¿Qué es un elemento irreductible en$\Bbb{Z}_6[x]$?

Question

¿Qué es un elemento irreductible en $\Bbb{Z}_6[x]$ ?

Este fue un problema en nuestra final y nadie sabía cómo resolverlo. ¿Alguien tiene un método para resolver esto?

Answer 1

La reclamación. Suponga que $\Bbb Z_m=\Bbb Z/m\Bbb Z$. El polinomio $f(x)\in\Bbb Z_6[x]$ es irreducible si y sólo si exactamente uno de estos es verdadera:
$(a)$ $f(x)$ es irreducible sobre $\Bbb Z_2$ e $f(x)\equiv \pm1\pmod{3}$ o
$(b)$ $f(x)$ es irreducible sobre $\Bbb Z_3$ e $f(x)\equiv 1\pmod{2}$.

Supongamos que $f(x)\in \Bbb Z_6[x]$ es irreductible. A continuación, $f(x)$ es irreducible o invertible más de $\Bbb{Z}_2$, y más de $\Bbb{Z}_3$. Si $f(x)$ es invertible en tanto $\Bbb Z_2$ e $\Bbb Z_3$, a continuación, $f(x)$ es una de las constantes polinomios $\pm1$, que son invertible (y no irreductible). Esto es una contradicción, por lo $f(x)$ debe ser irreductible más de $\Bbb Z_2$ o más de $\Bbb Z_3$.

Si $f(x)$ es invertible en ni $\Bbb Z_2$ ni $\Bbb Z_3$, entonces podemos resolver para $$u(x)\equiv 1\pmod{2}\ \ \ \wedge\ \ \ u(x)\equiv f(x)\pmod 3$$ y $$v(x)\equiv f(x)\pmod{2}\ \ \ \wedge \ \ \ v(x)\equiv 1\pmod{3}$$ para $u(x),v(x)\in\Bbb{Z}_6[x]$. Estos $u(x)$ e $v(x)$ son no invertible más de $\Bbb Z_6$ (desde $u(x)$ no es invertible modulo $3$, e $v(x)$ no es invertible modulo $2$). Sin embargo, $f(x)=u(x)\cdot v(x)$ en $\Bbb Z_6[x]$, lo cual es una contradicción. Por lo tanto, cualquiera de las $(a)$ o $(b)$ tiene, pero no tanto.

Por el contrario, supongamos que $(a)$ sostiene. Si $f(x)=p(x)\cdot q(x)$ para algunos $p(x),q(x)\in \Bbb Z_6[x]$, a continuación, reducir el $p(x)$ e $q(x)$ modulo $2$ e $3$ respectivamente. Como $f(x)$ es irreductible mod $2$, $(p,q)=(f,1)$ o $(p,q)=(1,f)$ modulo $2$. Wlog, $p=f$ e $q=1$. Como $f(x)\equiv \pm 1\pmod{3}$, $p(x)$ e $q(x)$ modulo $3$ son constantes $\pm 1$. Por lo tanto, $q(x)\equiv 1\pmod{2}$ e $q(x)\equiv -1\pmod{3}$. Por lo tanto, $q(x)= \pm 1$ en $\Bbb Z_6[x]$. Que es, $q(x)$ es constante, y por lo $f(x)$ es irreductible.

Por último, supongamos que $(b)$ sostiene. Si $f(x)=p(x)\cdot q(x)$ para algunos $p(x),q(x)\in \Bbb Z_6[x]$, a continuación, reducir el $p(x)$ e $q(x)$ modulo $2$ e $3$ respectivamente. Como $f(x)$ es irreductible mod $3$, $(p,q)=(f,1)$ o $(p,q)=(1,f)$ modulo $3$, hasta firmar el intercambio. Wlog, $p=f$ e $q=1$. Como $f(x)\equiv 1\pmod{2}$, $p(x)$ e $q(x)$ modulo $2$ igual a la constante de $1$. Por lo tanto, $q(x)\equiv 1\pmod{2}$. Por lo tanto, $q(x)= 1$ en $\Bbb Z_6[x]$. Que es, $q(x)$ es constante, y por lo $f(x)$ es irreductible.

Ejemplos. El polinomio $f(x)=3x+1$ se ajusta $(a)$, por lo que es irreducible en a$\Bbb{Z}_6[x]$. El polinomio $f(x)=2x+1$ se ajusta $(b)$, por lo que es irreducible en a$\Bbb{Z}_6[x]$.