Cerrada de la forma de una integral impropia para resolver el plazo de un sistema dinámico

Question

Esta integral impropia trata de un problema de la órbita periódica. La integral se evalúa la mitad del período.

En un caso especial, la integral es $$I=\int_{r_1}^{r_2}\frac{dr}{r\sqrt{\Phi^2(r,r_1)-1}}$$ donde $$\Phi(u,v)=\frac{u\exp{(-u)}}{v\exp{(-v)}}$$

El intervalo de la siguiente manera $\Phi(r_1,r_2)=1$, $r_1<r_2$.

He encontrado una solución para un caso especial (mediante la aplicación de la perturbación del método original de educación a distancia), que es $$\lim_{r_1\rightarrow r_2} I =\pi$$ Cuando $r_1 \rightarrow r_2$, tenemos $r_1, r_2 \rightarrow r_0$, donde $r_0$ es la posición del pico de $g(r)=r\exp{(-r)}$.

El número de verificación que se muestra a continuación:

$\uparrow$ El intervalo de la integral y el integrando

$\uparrow$ La integral como una función de la $r_2$

Mi problema es derivar una forma cerrada para $I(r_1)$, o incluso sólo una expansión de Taylor acerca de la $r_0$. Agradezco cualquier sugerencia.

Gracias!

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Si usted está interesado, aquí está la forma general de la integral: $$I=\int_{r_1}^{r_2}\frac{dr}{r\sqrt{\Phi^2(r,r_1)-1}}$$ donde $$\Phi(u,v)=\frac{u\exp{(k(u))}}{v\exp{(k(v))}}$$ y $k$ es una función decreciente. El intervalo de la siguiente manera $\Phi(r_1,r_2)=1$, $r_1<r_2$.

Mediante la resolución de la original de la educación a distancia usando la perturbación método, la solución a un caso especial es $$\lim_{r_1\rightarrow r_2} I =\frac{\pi}{\sqrt{1+r_c k''(r_c)/k'(r_c)}}$$

Cuando $k(r)=-r$, se reduce a $\pi$.

De hecho, $\lim_{r_1 \rightarrow r_2} I (k(r)=-C\cdot r^n) = \pi/\sqrt{n}$.

Answer 1

En primer lugar, la integral $$I = \int\limits_{r_1}^{r_2}\dfrac{e^r\,\mathrm dr}{r^2\sqrt{\left(\dfrac{e^{r_1}}{r_1}\right)^2-\left(\dfrac{e^r}r\right)^2}}\tag1$$ existe iff $r_2\le 1,$ debido a que la función $\dfrac1r e^r$ mínimo en $r=1.$

Teniendo en cuenta que $$\mathrm d\left(\dfrac{e^r}r\right)=\left(\dfrac1r - \dfrac1{r^2}\right)e^r\,\mathrm dr,$$ uno puede conseguir $$I = \int\limits_{r_1}^{r_2}\dfrac{e^r\,\mathrm dr}{r^2\sqrt{\left(\dfrac{e^{r_1}}{r_1}\right)^2-\left(\dfrac{e^r}r\right)^2}} = \int\limits_{r_1}^{r_2}\dfrac{e^r\,\mathrm dr}{r\sqrt{\left(\dfrac{e^{r_1}}{r_1}\right)^2-\left(\dfrac{e^r}r\right)^2}} - \int\limits_{r_1}^{r_2}\dfrac1{\sqrt{\left(\dfrac{e^{r_1}}{r_1}\right)^2-\left(\dfrac{e^r}r\right)^2}}d\left(\dfrac {e^r}r\right)\,\mathrm dr$$ $$=\int\limits_{r_1}^{r_2}\dfrac{e^r\,\mathrm dr}{r\sqrt{\left(\dfrac{e^{r_1}}{r_1}\right)^2-\left(\dfrac{e^r}r\right)^2}} - \mathrm{arcsin}\left(\dfrac {r_1}{r}e^{r-r_1}\right)\Big|_{r_1}^{r_2}= I_1 + \mathrm{arccos}\left(\dfrac{r_1}{r_2}e^{r_2-r_1}\right),\tag1$$ donde $$I_1 = \int\limits_{r_1}^{r_2}\dfrac{e^r\,\mathrm dr}{r\sqrt{\left(\dfrac{e^{r_1}}{r_1}\right)^2-\left(\dfrac{e^r}r\right)^2}}.\tag2$$ Tenga en cuenta que $I_1 \le I,$ porque $r_2 \le1.$

No puedo obtener la forma cerrada para $(2).$

Por otro lado, usando la serie de Taylor en $x=1$ en la forma de $$\dfrac {e^x} {x\sqrt{\dfrac{e^{2a}}{a^2}-\dfrac{e^{2x}}{x^2}}} = \dfrac e{\sqrt{\dfrac{e^{2a}}{a^2}-e^2}} - \dfrac{e^{2a+1}(x-1)^2}{2\left(e^2 a^2-e^{2a}\right) \sqrt{\dfrac{e^{2a}}{a^2}-e^2}} + \dfrac{e^{2a+1}(x-1)^3}{3\left(e^2 a^2-e^{2a}\right) \sqrt{\dfrac{e^{2a}}{a^2}-e^2}}$$ $$+ \dfrac{3e^{4a+1}(x-1)^4}{8\left(e^{2a}-e^2 a^2\right)^2 \sqrt{\dfrac{e^{2a}}{a^2}-e^2}} + \dfrac{\left(-4e^{2a+3}a^2-11e^{4a+1}\right)(x-1)^5}{30\left(e^{2a}-e^2a^2\right)^2\sqrt{\dfrac{e^{2a}}{a^2}-e^2}} + \dots$$ (ver también Wolfram Alpha), se puede obtener la estimación de la

$$I_1 = \dfrac1{\sqrt{\dfrac{e^{2r_1-2}}{r_1^2}-1}} \int_{r_1}^{r_2}\Bigg(1 - \dfrac{e^{2r_1}(r-1)^2}{2\left(e^2 r_1^2-e^{2r_1}\right)} + \dfrac{e^{2r_1}(r-1)^3}{3\left(e^2 r_1^2-e^{2r_1}\right)}$$ $$+ \dfrac{3e^{4r_1}(r-1)^4}{8\left(e^{2r_1}-e^2 r_1^2\right)^2} + \dfrac{\left(-4e^{2r_1+3}r_1^2-11e^{4r_1}\right)(r-1)^5}{30\left(e^{2r_1}-e^2r_1^2\right)^2} + \dots\Bigg)\,\mathrm dr,$$

$$I_1 = \dfrac {1}{\sqrt{\dfrac{e^{2r_1-2}}{r_1^2}-1}}\Bigg((r_2-r_1) - \dfrac{e^{2r_1}\left((r_2-1)^3-(r_1-1)^3\right)}{6\left(e^2 r_1^2-e^{2r_1}\right)} + \dfrac{e^{2r_1+1}\left((r_2-1)^4-(r_1-1)^4\right)}{12\left(e^2 r_1^2-e^{2r_1}\right) }$$ $$+ \dfrac{3e^{4r_1+1}\left((r_2-1)^5-(r_1-1)^5\right)}{40\left(e^{2r_1}-e^2 r_1^2\right)^2} + \dfrac{\left(-4e^{2r_1+3}r_1^2-11e^{4r_1+1}\right)\left((r_2-1)^6-(r_1-1)^6\right)}{180\left(e^{2r_1}-e^2r_1^2\right)^2} + \dots\Bigg)$$