Dividiendo por $P(x)^2$ obtenemos que suponiendo $P(x)\neq 0$ , $Q(x)=0$ es equivalente a $$xR^2+(x^2+1)R+x=0$$ donde $R=P'(x)/P(x)$ . Considerando esto como una cuadrática en $R$ las raíces son $R=-x$ y $R=-1/x$ . Así que.., $Q(x)=0$ si $$P'(x)=-xP(x)\text{ or }P(x)=-xP'(x)$$ (nótese que estas condiciones también incluyen la posibilidad de que $P(x)=0$ en cuyo caso vemos fácilmente que $Q(x)=0$ es equivalente a $P'(x)=0$ o $x=0$ ). Obsérvese que es imposible que ambos $P'(x)=-xP(x)$ y $P(x)=-xP'(x)$ para mantener a la vez para $x>1$ si $P(x)\neq 0$ ya que juntos implican $x=1/x$ (aquí es donde la suposición de que las raíces de $P$ son mayores que $1$ entrará).
Ahora puedes intentar usar esta caracterización para encontrar raíces de $Q$ entre las raíces de $P$ considerando cómo los signos de $P'(x)+xP(x)$ y $P(x)+xP'(x)$ cambiar. Los detalles se ocultan a continuación.
Consideremos un par de raíces consecutivas $a<b$ de $P$ en $(1,\infty)$ . Permítanme suponer primero que $a$ y $b$ son ambas raíces simples. Entonces $P(a)=P(b)=0$ pero $P'(a)$ y $P'(b)$ son distintos de cero con signo opuesto. De ello se deduce que debe haber algún $c\in(a,b)$ tal que $P'(c)=-cP(c)$ . Tenga en cuenta que $P(c)\neq 0$ desde $a$ y $b$ son raíces consecutivas. Del mismo modo, debe existir $d\in (a,b)$ tal que $P(d)=-dP'(d)$ y $P(d)\neq 0$ .
Si $a$ o $b$ es una raíz múltiple de $P$ la historia es más complicada, pero la conclusión es la misma. Supongamos sin pérdida de generalidad que $P$ es positivo en $(a,b)$ . Si $k$ es la multiplicidad del cero de $P$ en $b$ Esto significa $P^{(j)}(b)=0$ para $j<k$ y $P^{(k)}(b)$ tiene el mismo signo que $(-1)^k$ . Obsérvese ahora que la primera derivada no nula de $P(x)+xP'(x)$ en $b$ es el $(k-1)$ derivada que es $bP^{(k)}(b)$ (todos los demás términos implican derivadas inferiores de $P$ en $b$ que desaparecen). Así, para $x$ algo menos de $b$ , $P(x)+xP'(x)$ tiene el mismo signo que $(-1)^{k-1}bP^{(k)}(b)$ que es negativo. Pero podemos hacer un análisis similar en $a$ para concluir que $P(x)+xP'(x)$ es positivo para $x$ ligeramente superior a $a$ . Así $P(x)+xP'(x)$ debe tener una raíz en $(a,b)$ . Podemos volver a hacer un análisis similar para $P'(x)+xP(x)$ para demostrar que también tiene una raíz en $(a,b)$ .
El resultado es que $Q$ debe tener al menos dos raíces distintas entre cada par de raíces de $P$ en $(1,\infty)$ . Esto da $2n-2$ raíces distintas de $Q$ . Para encontrar uno más, dejemos $a$ sea la raíz mínima de $P$ en $(1,\infty)$ (si $n=0$ no hay nada que demostrar). Tenga en cuenta que $Q(a)\geq 0$ . Obsérvese también que si el término inicial de $P$ es $bx^k$ entonces el primer término de $Q$ es $$x^2\cdot bx^k\cdot kbx^{k-1}+x\cdot b^2x^{2k}=(k+1)b^2x^{2k+1}.$$ En particular, $Q$ tiene grado impar y coeficiente principal positivo. Por lo tanto $Q(x)\to-\infty$ como $x\to-\infty$ . De ello se deduce que $Q$ debe tener una raíz menor o igual que $a$ . Así pues, en total encontramos que $Q$ tiene al menos $2n-1$ raíces reales, según se desee.
