Supongamos, $W_n$ es el conjunto de todas las palabras formadas por las letras '$a$"y"$b$', que no contengan $n$ mismo consecutivos no vacío subpalabras (que significa que para cualquier palabra vacía $u$, la palabra $u^n$ no es un subword de las palabras de $W_n$) "$bababab$" no es en $W_3$, ya que contiene tres consecutivos "$ba$" subpalabras, pero es obvio que es en $W_4$. Por lo $n$ es $W_n$ finito?
Es fácil ver, que $W_n \subset W_{n+1}$ y por lo tanto la secuencia de los cardenales $\{|W_n|\}_{n=1}^{\infty}$ es monótonamente no decreciente. Por lo tanto, $W_n$ es finita para todas las $n$, o es infinita para todas las $n$, o existe $n_0$, de tal manera que $W_n$ es finita para todas las $n < n_0$ e infinito para todos los $n \geq n_0$.
También se puede ver, que $W_2 = \{a, b, ab, ba, aba, bab\}$ es finito. Se puede demostrar que con sólo mirar las 16 palabras de longitud 4 y viendo que ninguno de ellos se encuentra en $W_2$.
Sin embargo, $W_{665}$ es ya infinito. Supongamos $G$ es un infinito $2$generado por el grupo de exponente $665$ (grupo existe de acuerdo a Adyan-Novikov teorema). Cualquier elemento puede ser expresado como un múltiplo del producto de los dos generadores (que puede ser escrito como una palabra formada por las letras '$a$"y"$b$' (que denotan el primer y el segundo generador, respectivamente). Debido a que el grupo que tiene un exponente $665$, cualquier palabra puede ser "reducido" a una palabra de $W_{665}$. Uno puede ver que dos de los elementos que puede ser escrito como la misma palabra son iguales. Y en $G$ hay infinitamente muchas parejas no elementos iguales. Por lo tanto $W_{665}$ es infinito por el principio del palomar.
Así que podemos decir que existe $n_0$que $W_n$ es finita para todas las $n < n_0$ e infinito para todos los $n \geq n_0$. Y que dichas $n_0$ satisface la desigualdad $2 < n_0 \leq 665$. Sin embargo no he logrado determinar algo más acerca de ese número.
Cualquier ayuda será apreciada.
