Demostrando que$f(z;\sigma)=\sum_{k\in\Bbb Z}\frac{1}{\sqrt{2\pi}\, \sigma}{\rm e}^{-\frac{(z-k)^2}{2\sigma^2}}$ converge a$1$ como$\sigma\to\infty$

Question

Tengo una aplicación donde obtengo la siguiente función como resultado: $$f(z;\sigma) = \sum_{k \in \mathbb{Z}} \frac{1}{\sqrt{2 \pi} \, \sigma} \textrm{e}^{-\frac{(z - k)^2}{2 {\sigma}^{2}}}$ $

Parece que $$\lim_{\sigma \rightarrow \infty} f(z;\sigma) = 1$ $ pero actualmente no puedo encontrar una manera de probar esto.

¿Es esta propiedad de la suma verdadera, y si lo es, por qué? Cualquier referencia sería muy apreciada.

Answer 1

Sugerencia. Considerar la función de gauss $g(w)=\frac{e^{-\frac{w^2}{2 {\sigma}^{2}}}}{\sqrt{2 \pi} \, \sigma} $. Entonces $$\sum_{k \in \mathbb{Z}} \frac{e^{-\frac{(z - k)^2}{2 {\sigma}^{2}}}}{\sqrt{2 \pi} \, \sigma} -\frac{e^{-\frac{z^2}{2 {\sigma}^{2}}}}{\sqrt{2 \pi} \, \sigma} =\sum_{k \in \mathbb{Z}\setminus \{0\}} g(z-k)\leq \int_{-\infty}^{\infty}g(w)\,dw=1$$ donde la suma de la izquierda es la suma de las áreas de los rectángulos con bases de $[z-k-1,z-k]$ e $k \in \mathbb{Z}$ bajo la gráfica de $g$.

En una manera similar, tenemos que $$\sum_{k \in \mathbb{Z}} \frac{e^{-\frac{(z - k)^2}{2 {\sigma}^{2}}}}{\sqrt{2 \pi} \, \sigma} +\frac{e^{-\frac{z^2}{2 {\sigma}^{2}}}}{\sqrt{2 \pi} \, \sigma} =2g(0)+\sum_{k \in \mathbb{Z}\setminus \{0\}} g(z-k)\\\geq \int_{-\infty}^{\infty}g(w)\,dw=1$$ donde esta vez la unión de los rectángulos contiene el área bajo la gráfica de $g$.

Answer 2

Mientras que otras personas le dio matemáticamente riguroso solución, aquí es más intuitivo uno:

Vamos a ir en el otro límite, $\sigma\to 0$. Entonces, lo que tienes es una suma de funciones delta en cada número entero. Vamos a calcular el área entre la mitad de los números enteros: $$\int_{-0.5}^{0.5}f(z,0)dz=1$$ Al aumentar el $\sigma$, similar a la de fusión de los picos, algunos de la zona de "flujo" de la central de la función delta en el lado de los intervalos. Pero un área igual a la "flujo". El área en cada intervalo de tiempo se conserva. Así, en el límite de $\sigma\to\infty$ cada Gaussiana se vuelve plana, por lo que la suma es una constante. Pero en cada intervalo de $$\int_{-0.5}^{0.5}f(z,\infty)dz=\int_{-0.5}^{0.5}Cdz=C=1$$

Answer 3

Como @Kavi Rama Murthy comentado, esta es una consecuencia inmediata de la sumación de Poisson fórmula que está diciendo que $$ \sum_{k\in \mathbb{Z}} f(x+k) = \sum_{j\in\mathbb{Z}} \hat{f}(j)e^{2\pi ijx},\quad \forall x\in \mathbb{R} $$ for all Schwartz function $f$. Here, $\hat{f}$ is the Fourier transform of $f$ on $\mathbb{R}$. In this case, let $$f_\sigma(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{x^2}{2\sigma^2}}= D^1_\sigma f_1(x)$$ where $D^s_\alpha g(x) = \frac{1}{\alpha^{\frac{1}{s}}}g(\frac{x}{\alpha})$ es una dilatación del operador. Entonces, se tiene que $$ \widehat{f_\sigma}(\xi) =\widehat{D^1_\sigma f_1}(\xi) = D^\infty_{1/\sigma}\widehat{f_1}(\xi)=e^{-2\pi^2\sigma^2\xi^2},\quad\forall \xi\in\mathbb{R}. $$ Por lo tanto la suma es $$ \sum_{k\in \mathbb{Z}} f_\sigma(x+k) = \sum_{j\in\mathbb{Z}} \widehat{f_\sigma}(j)e^{2\pi ijx}=\sum_{j\in\mathbb{Z}} e^{-2\pi^2\sigma^2j^2}e^{2\pi ijx} = 1+\sum_{j\neq 0} e^{-2\pi^2\sigma^2j^2}e^{2\pi ijx}. $$For $\sigma>1$, tenemos $$ |e^{-2\pi^2\sigma^2j^2}e^{2\pi ijx}|\leq e^{-2\pi^2j^2} \en l^1(\mathbb{Z}). $$ Thus, by Lebesgue's dominated convergence theorem, as $\sigma \to\infty$, obtenemos $$ \sum_{j\neq 0} e^{-2\pi^2\sigma^2j^2}e^{2\pi ijx} \to 0, $$ y como resultado $$ \lim_{\sigma\to\infty}\sum_{k\in \mathbb{Z}} f_\sigma(x+k) = 1,\quad \forall x\in \mathbb{R}. $$