Yo una respuesta afirmativa a esta pregunta mediante la declaró hipótesis en $u(x,t)$ y las propiedades de la transformada de Laplace $\mathscr{L}$, en lugar de utilizar las propiedades generales de calorías funciones: esta es quizás una "suave" el análisis de enfoque, que sin embargo tiene sus ventajas, brevemente descrita en las notas.
Lema 1. En virtud de las anteriores hipótesis en $u$ e $u_0$,
$$
\lim_{t\to \infty} u(x,t)=u_0(x)\:
\text{ y esto implica que}\:
\lim_{t\to \infty} u(x,t)\text{ es finito}
\quad \forall x \in \mathbb{R}^n\label{1}\etiqueta{1}
$$
En efecto, desde el $\sup_{x \in B(0,R)} \left\lvert u(x,t) - u_0(x) \right\rvert \xrightarrow{t \to \infty} 0$ para todos los $R>0$, tenemos
$$
0\le |u(x,t)-u_0(x)|\le\sup_{x \in B(0,R)} \left\lvert u(x,t) - u_0(x) \right\rvert \xrightarrow{t \to \infty} 0
$$
por el teorema del sandwich: a continuación, la primera parte de \eqref{1} consecuencia de un estándar real de análisis de argumento (ver por ejemplo [1], §3.7, prob. 7.7, p 127). Para la segunda parte de \eqref{1}, $u_0\in C^2(\mathbb{R}^n)$ implica que $|u_0(x)|<\infty$ por cada $x \in \mathbb{R}^n$ por lo que el límite existe y es finito para cada punto. $\blacksquare$
Desde $u\in C^3\big(\mathbb{R}^n\times (0,+\infty)\big)$, \eqref{1} implica que
$u(x,t)$ es limitado en cada cerrado en mitad de la mitad de la línea de $[\varepsilon,+\infty)$ cualquier $\varepsilon>0$.
Definición 1. Para cada una de las $\varepsilon >0$, $\varepsilon$-cambio de $u(x,t)$ se define como
$$
u^\varepsilon(x,t)=u(x,t+\varepsilon)
$$
Lema 2. Para todos los $\varepsilon>0$, $\varepsilon$de cambio $u^\varepsilon(x,t)$ de una función de $u(x,t)$ la satisfacción de todas las hipótesis del problema bajo análisis tiene las siguientes propiedades:
- $\lim_{t\to \infty} u(x,t)=\lim_{t\to \infty} u^\varepsilon(x,t)=u_0(x)$ para todos los $x \in \mathbb{R}^n$,
- $\Delta u^\varepsilon(x,t) = \partial_t u^\varepsilon(x,t)$,
- $u^\varepsilon(x,t)$ es $\mathscr{L}$(lugar) transformables respeto a $t\in[0,+\infty)$.
Las dos primeras propiedades sigue trivialmente a partir de la definición de $\varepsilon$-shift anterior, mientras el tercero se sigue de la continuidad de la $u$ en cada mitad de la línea de $[0,+\infty)$. $\blacksquare$
Poner a $U^\varepsilon(x,s)\triangleq \mathscr{L}\{u^\varepsilon\}(x,s)$, por las propiedades 1 y 3 del lema 2 y por el teorema del valor final (recuerde que $u^\varepsilon$ es curva y tiene un límite finito para $t\to +\infty$ para todos los $x \in \mathbb{R}^n$) de la transformada de Laplace tenemos
$$
\lim_{t\to \infty} u(x,t)=\lim_{t\to \infty} u^\varepsilon(x,t)
=\lim_{s\to 0} U^\varepsilon(x,s) =u_0(x)\quad\forall\, \varepsilon >0,\,x \in \mathbb{R}^n\label{2}\etiqueta{2}
$$
Ahora, tomando la transformada de Laplace de la ecuación 2 del lema 2 y multiplicar cada lado por $s\in\mathbb{C}$, $s\neq 0$ hemos
$$
\Delta\big[s U^\varepsilon(x,s)\big] = s^2U^\varepsilon(x,s)\label{3}\etiqueta{3}
$$
y el uso de \eqref{2} para calcular el límite de la $s$ va $0$ de cada lado de \eqref{3}
$$
\begin{split}
\lim_{s\to 0^+}\Delta\big[s U^\varepsilon(x,s)\big]&= \Delta u_0(x)\\
\lim_{s\to 0^+}s^2 U^\varepsilon(x,s)=&\lim_{s\to 0}s\cdot u_0(x)=0
\end{split}\implica \Delta u_0(x)=0\quad \forall x \in \mathbb{R}^n
$$
es decir, $u_0$ es armónica en el conjunto de la $ \mathbb{R}^n$.
Notas
- El argumento anterior podría ser sencilla si se puede suponer que $u\in C^3\big(\mathbb{R}^n\times [0,+\infty)\big)$: la continuidad de la $u$ sobre todo $[0,+\infty)$ la mitad de la línea implica directamente su $\mathscr{L}$-transformability y por lo tanto hacer superflua la introducción de $\varepsilon$-turnos y los relacionados con el análisis. Sin embargo, esta hipótesis tiene sus ventajas: el valor inicial $u|_{t=0^+}$ puede ser asumida como muy general, por ejemplo en la clase de análisis funcionales y hyperfunctions.
- El verdadero paso difícil en este tipo de resultados es la prueba de la existencia de un límite para $t\to\infty$ de la función de $u(x,t)$ que, sin embargo, en este caso se asume como hipótesis.
- La hipótesis que probablemente puede ser debilitado: $u(x,t)$ puede ser elegido para ser un débil o muy débil de la solución de la ecuación del calor, y estar solo (a nivel local) integrable. Este enfoque requiere para ampliar la prueba del teorema del valor final de la transformada de Laplace como se da en la Wikipedia a las funciones que sólo son localmente integrables (aparte de obviamente tener un límite finito para $t \to +\infty$).
[1] Emanuel Fischer (1983), "Intermedio Análisis Real", de Pregrado Textos en Matemáticas, Berlín-Heidelberg-Nueva York: Springer-Verlag, ISBN 0-387-90721-1, xiv+770, MR681692 (84e:26004), 0506.26002.
