Raíz cuadrada de $\sqrt{700} + \sqrt{280}$

Question

¿Existe una forma de expresar $\sqrt{\sqrt{700}+\sqrt{280}}$ bajo un solo signo radical como lo que se hace con el ejemplo de abajo? $$\sqrt{9+4\sqrt5}=\sqrt{4+5+2\sqrt{20}}=\sqrt{(\sqrt4+\sqrt5)^2}=2+\sqrt5$$

** No he hecho mucha generalización pero cuando trato de expresar $\sqrt{A+B}$ en forma de $\,R\,(a+\sqrt{b}\,)$ donde $A$ > $B$ , $R$ es una relación ajustable, y con $A$ , $B$ , $a$ y $b$ no siendo necesariamente racional o irracional, he llegado a esto : $$a=\sqrt{b}\;\left(k\,\pm\sqrt{k^2-1}\,\right)$$ donde $k = A/B$

En esta ecuación puedo introducir un $b$ y encontrar $a$ y después de eso, hacer un valor adecuado de $R$ para igualar las cosas (me pregunto si existe tal phrasal verb? ).

El problema con esto es que, en $\sqrt{\sqrt{700}+\sqrt{280}}$ donde $k=\sqrt{2.5}$ el R parece para convertirse siempre en otro número irracional de signo radical-dentro-del-radical con un $k$ valor de exactamente $\sqrt{2.5}$ de nuevo, independientemente de cuál sea el valor de $a$ y $b$ es. ¿Es que realmente no hay una metodología para hacerlo o que efectivamente hay una manera y me he estado perdiendo cosas? Gracias de antemano.

Answer 1

1. Permítame resolver su primer problema de manera general.

Supongamos que hay dos números $x$ y $y$ tal que

$$ \sqrt{9 + 4\sqrt5} = \sqrt{(x + y\sqrt5)^2} = x + y\sqrt5\quad (1)$$

Cuadra ambos lados:

$$ 9 + 4\sqrt5 = x^2 + 5y^2 + 2xy\sqrt5 $$ Esta ecuación puede satisfacerse con la siguiente elección: $$ \begin{align} x^2 + 5y^2 &= 9 \quad (2) \\ 2xy &= 4 \quad (3)\end{align} $$

Desde $(3) \Rightarrow y = 2/x$ , conéctese a $(2)$ : $$ x^4 -9x^2 + 20 = (x^2 - 4)(x^2 - 5) = 0 $$ $$ x^2 = 4, 5 \Rightarrow x = 2,\sqrt5$$ donde hemos rechazado los valores negativos de x como exige $(1)$ . Por lo tanto, hay dos soluciones: $$(x,y) = (2,1), (\sqrt5, \frac{2}{\sqrt5}). \quad (4)$$

Al conectar ambas soluciones a $(1)$ obtenemos el mismo resultado:

$$ \sqrt{9 + 4\sqrt5} = 2 + \sqrt5 $$

2. Ahora considere el problema $A = \sqrt{\sqrt{700} + \sqrt{280}}$ .

Utilizaremos el mismo método anterior, observando la siguiente forma radical irreducible:

$$\begin{align} \sqrt{700} &= 10\sqrt7, \\ \sqrt{280} &= 2\sqrt{2\cdot5\cdot7} = 2\sqrt{10}\sqrt7 \end{align} $$

Así, $$ A = \sqrt{ \sqrt7(10 + 2 \sqrt{10}) } = \sqrt[4]7\sqrt{10 + 2 \sqrt{10}} . \quad (5)$$

Supongamos que hay dos números $m$ y $n$ que satisfagan:

$$ \sqrt{ 10 + 2 \sqrt{10} } = \sqrt{ (m + n\sqrt{10})^2 } = m + n\sqrt{10}. \quad(6) $$

Cuadrando ambos lados: $$ m^2 + 10 n^2 = 10, \quad (7)$$ $$ 2mn = 2 \Rightarrow n = 1/m. \quad (8)$$ Es lo que sigue: $$ \begin{align} (6) \Rightarrow m^4 -10m^2 + 10 &= 0 \\ (m^2 -5)^2 -15 &= 0\\ m^2 &= 5 \pm \sqrt{15} \end{align} $$ Por lo tanto, las soluciones son las siguientes, después de rechazar las soluciones negativas como exige (6): $$ \begin{align} m &= \sqrt{5 \pm \sqrt{15}}, \\ n &= \frac{1}{\sqrt{5 \pm \sqrt{15}}} \\ &=\frac{\sqrt{5 \pm \sqrt{15}}}{5 \pm \sqrt{15}} \\ &= \frac{(5\mp\sqrt{15}) \sqrt{5 \pm \sqrt{15}} }{10}. \end{align}$$

Cuando se introducen los valores de $m$ y $n$ a (6), podemos ver que el lado derecho de (6) no se puede simplificar a $a + b\sqrt{10}$ donde $a$ y $b$ son números racionales.

Por lo tanto, podemos concluir que es imposible escribir

$$ A = \sqrt{ \sqrt7(10 + 2 \sqrt{10}) } = \sqrt[4]7 (a + b \sqrt{10}), $$

donde $a$ y $b$ son números racionales.

Como nota final, señalemos que (6) también se puede refundir como

$$ \sqrt{ 10 + 2 \sqrt{10} } = \sqrt{ (x\sqrt2 + y\sqrt5)^2 } = x\sqrt2 + y\sqrt5.$$

Utilizando el mismo procedimiento para resolver $x$ y $y$ podemos demostrar que esta forma no conduce a una solución donde $x$ y $y$ son números racionales.