Por favor, ayuda ¿Pueden usarse simultáneamente las dos operaciones (fila y columna) para encontrar el valor del mismo determinante para resolver la misma pregunta a la vez?
Una operación de fila corresponde a la multiplicación de una matriz $A$ a la izquierda por una de varias matrices elementales cuyos determinantes son fáciles de calcular para obtener una matriz $B = EA$ . Por ejemplo, el intercambio de las filas de una matriz de 2x2 se realiza con
$$ \pmatrix{0 & 1 \\ 1 & 0 } \pmatrix{a & b \\ c & d} $$ El determinante de la matriz intercambiada por filas resultante es el producto de los dos determinantes. Por lo tanto, $det B = det E det A$ . Desde $det E = -1$ en este caso, se puede calcular la det de la nueva matriz y multiplicarla por $-1$ para obtener el det del original. (Esto no suele ser muy útil, pero es un ejemplo).
Del mismo modo, una operación de columna se realiza con $A \mapsto AE$ y se puede utilizar la misma regla -- prducto de determinantes -- para relacionar el determinante de $B = AE$ al determinante de $A$ .
En resumen: se puede hacer una secuencia de operaciones de fila y columna, cada una de las cuales añade un factor al determinante, hasta llegar a la identidad. No es necesario hacer sólo una secuencia de operaciones de fila o sólo una secuencia de operaciones de columna.
Consejos personales: Utiliza uno u otro. Te llevará un poco más de tiempo, pero es mucho menos probable que te equivoques, según mi experiencia con muchos estudiantes a lo largo de los años.
Recuerda que un conjunto de operaciones de fila sobre una matriz $A$ puede representarse mediante una matriz $P$
$$A^{\prime}=PA$$
Aquí $A^{\prime}$ es la matriz $A$ después de las operaciones. Del mismo modo, las operaciones de columna se representan mediante una matriz $Q$ tal que
$$A^{\prime}=AQ$$
Después de las dos operaciones de fila y columna tienes
$$A^{\prime}=PAQ$$
así que
$$\det A^{\prime}=\det P\det Q\det A$$
Aquí $\det P$ y $\det Q$ son factores que dependen de sus operaciones exactas: suma de filas (factor $1$ ), la transposición de filas (factor $-1$ ) y la multiplicación de filas por $c$ (factor $c^{n}$ , donde $n\times n$ es el tamaño de las matrices).
Quería preguntar si en un problema he procedido a un paso por operación de fila, entonces puedo proceder con el segundo paso por operaciones de columna en el mismo problema a la vez?
@AdarshDubey Eso es algo perfectamente válido. Es la consecuencia de la asociatividad de la multiplicación de matrices. Tienes una secuencia de operaciones de filas y otra de columnas, es decir $$A^{\prime}=P_{n}\dots P_{1}AQ_{1}\dots Q_{n}$$ Puedes hacer todas las operaciones de fila primero, o todas las operaciones de columna primero o una operación de fila seguida de una operación de columna. No importa.
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Sí, pero no recuerdo cómo probarlo correctamente. Tal vez pueda esperar a que respondan personas más cualificadas.
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Ok gracias por intentarlo
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¿Qué significa exactamente "simultáneo"? Las operaciones de fila y columna modifican el determinante de la forma habitual.
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Por simultáneo me refería a que si se pueden utilizar ambos, uno tras otro, en la misma pregunta en un solo intento, es decir, si se procede a un paso en la resolución de las operaciones de fila y a un segundo paso en las operaciones de columna, ¿es correcto?