Evaluación de la serie $\sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{\arctan n}{n^2}$

Question

¿Podemos encontrar una forma cerrada para la serie?

$$\mathcal{S}=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\arctan n}{n^2}$$

Aquí hay una manipulación básica que hice:

\begin{align*} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\arctan n}{n^2} &=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} \sum_{k=0}^{\infty} (-1)^{k-1} \frac{n^{2k+1}}{2k+1} \\ &= \sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^{k-1}}{2k+1} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{2k+1}}{n^2}\\ &= \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^{k-1} \zeta(1-2k)}{2k+1} \end{align*}

Ahora, por desgracia, no sé cómo seguir adelante. Quizás la suma no admita una forma cerrada y todo lo que he hecho hasta ahora sea en vano. Otra forma sería :

$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\arctan n}{n^2} =\mathfrak{Im} \left ( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\ln (1+in)}{n^2} \right )$$

¡Ahora no sé cómo resumir la segunda serie! ¿Alguna ayuda?

Answer 1

La serie dada admite una forma cerrada en términos de la constantes de poli-Stieltjes definido aquí .

Propuesta . Uno tiene $$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\arctan n}{n^2}=\frac{\pi^3}{12}+\frac1{2i}\gamma'_1(i,0)-\frac1{2i}\gamma'_1(-i,0) $$

donde $\gamma'_1(a,0)$ denota $\displaystyle \left.\partial_b\gamma_1(a,b)\right|_{b=0}$ y donde $$\gamma_1(a,b) = \lim_{N\to+\infty}\left(\sum_{n=1}^N \frac{\log (n+a)}{n+b}-\frac{\log^2 \!N}2\right). $$ Prueba . Se nos permite realizar una diferenciación término a término $^1$ y utilizar Teorema 2 obteniendo $$ \begin{align} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\arctan n}{n^2}&=\sum_{n=1}^{\infty} \frac1{n^2}\left(\frac{\pi}2-\arctan \frac1n \right) \\&=\frac{\pi}2\sum_{n=1}^{\infty}\frac1{n^2}-\frac1{2i}\sum_{n=1}^{\infty}\frac1{n^2}\left(\log(n+i)-\log(n-i)\right) \\&=\frac{\pi^3}{12}+\frac1{2i}\left.\partial_b\sum_{n=1}^{\infty}\frac1{n+b}\left(\log(n+i)-\log(n-i)\right)\right|_{b=0} \\&=\frac{\pi^3}{12}+\frac1{2i}\left.\partial_b\frac{}{}\left(\gamma_1(i,b)-\gamma_1(-i,b)\right)\right|_{b=0} \\&=\frac{\pi^3}{12}+\frac1{2i}\gamma'_1(i,0)-\frac1{2i}\gamma'_1(-i,0). \end{align} $$

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$^1$ Supongamos que $b\ge0$ y $n\ge1$ . Cada función $b \mapsto f_n(b):=\frac1{n+b}\left(\log(n+i)-\log(n-i)\right)$ es diferenciable sobre $(-1,\infty)$ la serie $\sum f_n(b)$ es uniformemente ( normalmente ) convergente sobre $[0,\infty)$ existe una constante $c_1$ tal que: $$\left|f_n(b)\right|=\left|\frac1{n+b}\left(\log(n+i)-\log(n-i)\right)\right|\le\frac{c_1}{n^2}, \quad n \to \infty,$$ y la serie $\sum f'_n(b)$ es uniformemente ( normalmente ) convergente sobre $[0,\infty)$ existe una constante $c_2$ tal que: $$\left|f'_n(b)\right|=\left|\frac1{(n+b)^2}\left(\log(n+i)-\log(n-i)\right)\right|\le\frac{c_2}{n^3}, \quad n \to \infty.$$

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Observación. La proposición anterior puede generalizarse fácilmente, dando nuevas formas cerradas para una amplia familia de integrales. Por ejemplo, se deduce una forma cerrada para la integral de @nospoon $$ \int_0^{\infty}\frac{\sin x}{x}\text{Li}_2(e^{-x})dx=\text{Im}\:\gamma'_1(-i,0) $$ utilizando el resultado estándar $\displaystyle \int_0^{\infty} \frac{\sin x}{x}e^{-nx}dx=\arctan \frac1n, \, n>0.$