Grupo de orden $pqr$ y subgrupo cíclico

Question

Deje $G$ grupo de orden $pqr$, cuando se $p,q,r$ son diferentes números primos. Qué $G$ debe tener normal subgrupo cíclico $H$ tal que $G/H$ es cíclico ?

Sé que $G$ normal tiene subgrupo de sylow de orden $p$ o $q$ o $r$, $G$ es solucionable, pero no puedo ver por qué no es cíclica cociente.

Edit: Intento de solución - Si $G$ es abelian, a continuación,$G\cong \mathbb{Z}_{p}\oplus\mathbb{Z}_{q}\oplus\mathbb{Z}_{r}\cong \mathbb{Z}_{pqr}$, por lo tanto cíclico y es claro. Si no, entonces $G'\neq \left\{ e\right\}$. Si $\left|G'\right|=p$, $G/G'\cong \mathbb{Z}_{qr}$ (debido a $G'/G$ es abelian), tanto cíclicos. y los otros casos son simétricos. $G'\neq G$ porque $G$ es solucionable.

Answer 1

La respuesta es sí. Supongamos que $G$ tiene un Sylow normal subgrupo-$p$ $P$.

Si $C_G(P) = P$, desde $G/C_G(P)$ es isomorfo a un subgrupo de ${\rm Aut}(P)$, que es cíclica, $G/P$ es cíclico.

Si $P

Por último, si $C_G(P) = G$ $G/P$ tiene un Sylow normal decir subgrupo $K/P$ y $K$ y $G/K$ son cíclicos.