¿Por qué medir $SU(N)$ y no $SO(N)$ ?

Question

Cuando se construyen modelos, la gente suele medir $SU(N)$ pero rara vez tratan de medir $SO(N)$ (el único ejemplo que conozco es $SO(10)$ pero incluso eso no es del todo $SO(10)$ pero en realidad es su doble cubierta). Al menos con $SO(2) $ y $SO(3)$ uno podría elegir medir estos grupos o sus isomorfismos, $U(1)$ y $SU(2)$ .

¿Hay alguna buena razón por la que trabajar con el $SO(N)$ es más difícil? Además, ¿podría haber alguna nueva física que se esconda en un grupo ortogonal y no dentro de uno unitario?

Answer 1

Si haces una teoría gauge sobre $\mathrm{SU}(N)$ También tiene uno sobre $\mathrm{SO}(N)$ desde $\mathrm{SO}(N) \subset \mathrm{SU}(N)$ .

La teoría de la representación de $\mathrm{SO}(N)$ es más complicado, ya que no tiene muchas propiedades agradables en comparación con $\mathrm{SU}(N)$ - este último preserva las estructuras ortogonales, complejas y simplécticas, mientras que el primero sólo respeta las estructuras ortogonales. Si cree que esto debería implicar que $\mathrm{SO}(N)$ es el grupo mayor, esto se debe a que las estructuras simplécticas y ortogonales que $\mathrm{SU}(N)$ conservas están en otras dimensiones, más precisamente $$\mathrm{U}(N) = \mathrm{O}(2N) \cap \mathrm{GL}_\mathbb{C}(N) \cap \mathrm{Sp}_\mathbb{R}(2N)$$

Heurísticamente, trabajando con menos simetría (es decir $\mathrm{SO}$ vs $\mathrm{SU}$ ) supone más trabajo, por lo que las presentaciones típicas prefieren trabajar con los grupos unitarios. Además, la mayoría de las teorías cuánticas trabajan inherentemente con números complejos, por lo que una simetría unitaria (gauge) es más natural que una real ortogonal.

Answer 2

Principalmente porque se necesitan representaciones complejas para los fermiones de manera que las anomalías se cancelen. Las representaciones reales no funcionan, aunque éstas también cancelan las anomalías, ya que dan grandes masas radiativas. $SO(n)$ tiene tanto las representaciones tensoriales (de un solo valor) que son siempre reales como las representaciones espinoriales (de doble valor). En el caso de $SO(n)$ (o más correctamente $Spin(n)$ ) sólo se tienen repeticiones complejas cuando $l\geq 1$ con $n=4l+6$ y n incluso así el grupo más pequeño que puede tener estas representaciones es $SO(10)$ . En este modelo se pueden incrustar en la representación espinorial todos los campos de fermiones del SM más el neutrino RH y cancelar las anomalías y esta es una de las razones por las que es tan utilizado aunque el álgebra tiene 45 generadores. En cambio, para $SU(n)$ puede tener representaciones complejas ya que $n \geq 3$ y así el modelo mínimo que contiene el grupo gauge del SM es el $SU(5)$ con un álgebra mucho más manejable.

Answer 3

La teoría gauge SO(N) no es realmente muy diferente de la teoría gauge SU(N). Todos los cálculos son básicamente los mismos, y la física sólo es diferente porque la teoría de representación de SO(N) es un poco más complicada que la teoría de representación de SU(N). (Si dieras una clase sobre teoría de la representación, explicarías SU(N) en la pizarra y harías que los alumnos resolvieran problemas de tarea sobre SO(N)).