¿Cuál es la notación algebraica para calcular el intervalo de predicción para regresión múltiple?
Suena tonto, pero estoy teniendo problemas para encontrar una clara notación algebraica de esto.
Respuesta
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Tome un modelo de regresión con $N$ observaciones y $k$ regresores: $$\mathbf{y=X\beta+u} \newcommand{\Var}{\rm Var}$$
Dado un vector $\mathbf{x_0}$, el valor predicho para que la observación sería $$E[y \vert \mathbf{x_0}]=\hat y_0 = \mathbf{x_0} \beta.$$ Un estimador consistente de la varianza de esta predicción es $$\hat V_p=s^2 \cdot \mathbf{x_0} \cdot(\mathbf{X'X})^{-1}\mathbf{x'_0},$$ where $$s^2=\frac{\Sigma_{i=1}^{N} \hat u_i^2}{N-k}.$$ El error de previsión para un determinado $y_0$ es $$\hat e=y_0-\hat y_0=\mathbf{x_0}\beta+u_0-\hat y_0.$$ El cero de la covarianza entre el $u_0$ $\hat \beta$ implica que $$\Var[\hat e]=\Var[\hat y_0]+\Var[u_0],$$ y un estimador consistente de que es $$\hat V_f=s^2 \cdot \mathbf{x_0} \cdot(\mathbf{X'X})^{-1}\mathbf{x'_0} + s^2.$$
El $1-\alpha$ $\rm confidence$ intervalo será: $$y_0 \pm t_{1-\alpha/2}\cdot \sqrt{\hat V_{p}}.$$ El $1-\alpha$ $\rm prediction$ intervalo será más amplio: $$y_0 \pm t_{1-\alpha/2}\cdot \sqrt{\hat V_{f}}.$$
