Sobre productos singulares de números cardinales.

Question

Quiero saber si es posible mostrar en$ZFC$ que existe un límite ordinal$\lambda$, una secuencia estrictamente creciente de números cardinales$\langle \mu_\alpha : \alpha \in \lambda\rangle$ y un subconjunto cofinal$A \subseteq\lambda$, tal que$$\prod_{\alpha\in A} \mu_\alpha < \prod_{\alpha\in \lambda} \mu_\alpha.$ $

Es fácil demostrar que$\lambda$ no puede ser regular. Tampoco es tan difícil encontrar ejemplos utilizando algunas suposiciones adicionales sobre la aritmética cardinal.

Answer 1

Esto no es demostrable en ZFC, y de hecho es refutada por la GCH.

Suponiendo GCH, tenemos, por $\kappa$ singular, que $\kappa^{cf(\kappa)}=2^\kappa=\kappa^+=\kappa^\kappa$ (esta última igualdad debido a que $\kappa^+= 2^\kappa\le\kappa^\kappa\le (2^\kappa)^\kappa=2^\kappa=\kappa^+$). Pero esto obliga a que ambos productos en la cuestión de la igualdad de $\kappa^+$ (donde $\kappa=\sup\mu_\alpha$).

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EDIT: Para aclarar el motivo por el (a priori más pequeños) lado izquierdo debe ser $\kappa^+$: claramente es suficiente para mostrar que el es $>\kappa$, ya que en la mayoría de los $\kappa^{cf(\kappa)}=\kappa^+$. Fijar un cofinal secuencia $\mu_\alpha$. Dado cualquier conjunto $A\subseteq \kappa$, vamos a $A_\alpha=A\cap \mu_\alpha$. Entonces cualquier conjunto $A$ está determinado por la secuencia de $(A_\alpha: \alpha<cf(\kappa))$. Este es un elemento de $$\prod_{\alpha<cf(\kappa)}2^{(\mu_\alpha)}=\prod_{\alpha<cf(\kappa)}\mu_\alpha^+,$$ so the set of all such sequences has size at least $2^\kappa$.

Answer 2

${}$ Hola Ramiro! Miré a preguntas muy similares en mi tesis de licenciatura (ver aquí).

Su pregunta está relacionada con una conjetura de Tarski, en

A. Tarski, Quelques théorèmes sur les alephs, Fondo. De matemáticas. 7 (1925), 1-14.

En ese papel, él demuestra que $$ \prod_{\alpha<\lambda}\aleph_\alpha=\aleph_\lambda^{|\lambda|}$$ for any limit ordinal $\lambda$, and conjectures that if $\lambda$ is a limit ordinal and $(\mu_\alpha\mid\alpha<\lambda)$ is a strictly increasing sequence of infinite cardinals with limit $\mu$, then $$\prod_{\alpha<\lambda}\mu_\alpha=\mu^{|\lambda|}.$$ Es un buen ejercicio para demostrar que esto es suponiendo que el singular cardenales hipótesis. Recordemos que esta es la afirmación de que para todos los $\kappa$, $$2^\kappa=\kappa^++\kappa^{{\mathrm cf}(\kappa)}.$$ De ello se deduce fácilmente a partir de esto que la existencia de una secuencia y un $A$ la satisfacción de la desigualdad como sugieren viola la singular cardenales hipótesis.

Violaciones de Tarski de la conjetura fueron estudiados en detalle por Jech y Sela (utilizando pcf teoría), ver

MR1070525 (91j:03066). Jech, Thomas; Sela, Saharon. En una conjetura de Tarski sobre los productos de los cardenales. Proc. Amer. De matemáticas. Soc. 112 (1991), no. 4, 1117-1124.

Entre otros, proporcionan una prueba de que los "buenos" ejercicio anterior, y muestran que si la conjetura de falla, entonces no es un contraejemplo a $\lambda=\omega_1+\omega$. De hecho, son una muestra de que podemos encontrar un límite ordinal $\gamma>\omega_1$ tal que $$\aleph_\gamma^{\aleph_1}>\aleph_{\gamma+\omega}^{\aleph_0},$$ y esto a su vez puede ser utilizado para producir un ejemplo como usted requiere.