Definición de verdad en la lógica de primer orden

Question

Dejemos que $L$ sea un lenguaje de primer orden.

Dejemos que $P$ sea un símbolo de predicado de $L$ y $c$ una constante. Dada una interpretación $I$ de $L$ una definición dice

La fórmula $P(c)$ es cierto en $I$ si $c\in I(P)$ .

Mi pregunta es, entonces, qué significa decir que " $c\in I(P)$ ¿"es cierto"? Esta no es una fórmula en $L$ podría considerarse una fórmula en un lenguaje aumentado $L'\supset L$ pero entonces podría hacer la misma pregunta sobre $L', I'$ .

Espero que mi pregunta tenga sentido.

Answer 1

La declaración $c\in I(P)$ está en la metateoría, así que se supone que ya sabes lo que significa. Es decir, asumiendo que tienes algo de teoría de conjuntos de fondo en la que puedes hablar de afirmaciones como $c\in I(P)$ y determinar si son verdaderas, estás definiendo un nuevo concepto llamado "verdad" sobre las fórmulas y estructuras para tu lenguaje de primer orden. No estás intentando definir la "verdad" matemática en ningún sentido absoluto, sólo en este contexto tan particular de las estructuras de primer orden.

Si quiere decir lo que significa para $c\in I(P)$ que sea verdadera, eso es más una cuestión de filosofía que de matemáticas. Normalmente tratamos la "verdad" de cosas como ésta como una noción indefinida: sólo tenemos reglas formales sobre cómo podemos hacer deducciones lógicas entre afirmaciones como ésta (si estas afirmaciones son verdaderas, entonces podemos concluir que esas otras afirmaciones son verdaderas). Pero normalmente no damos ninguna definición real de "verdad" para los enunciados de la metateoría. Si eres un platonista, podrías imaginar que realmente hay un universo teórico-conjunto real que existe en algún sentido, y entonces la "verdad" es una afirmación empírica sobre este universo (es decir que $c$ es realmente un elemento del conjunto $I(P)$ ). Pero esto es filosofía, no matemáticas.

Answer 2

Generalmente en lógica cuando se habla de un enunciado verdadero es porque se tiene un modelo particular en mente que es su verdad relativa.

Cuando se axiomatiza la verdad, se pretende hacer la definición más precisa que se pueda hacer, en el sentido de que ningún otro modelo que no sea el elegido como verdadero satisfaga sus axiomas. Los resultados de Gödel le muestran que esta tarea no siempre se puede llevar a cabo.

Por ejemplo, en aritmética se entiende que cuando se habla de enunciados verdaderos se refiere en realidad a enunciados verdaderos en el modelo estándar, que sólo contiene los números estándar.

En tu ejemplo, considero que estás definiendo un modelo particular como tu verdad a través de una correspondencia sintáctica.