¿Qué tipo de PDE puede ' t resolverse por separación de variables?

Question

¿Qué tipo de PDE no puede resolverse por separación de variables? ¿Excepto los que no tienen límites y que son no lineales? ¿Tiene asuntos con la forma del dominio de solución?

¿Cuándo debo usar adición o división (no multiplicación) para separar las variables?

¡Muchas gracias!

Answer 1

Aquí simplemente para ampliar mis comentarios en una respuesta.

¿Qué tipo de ecuaciones no se pueden resolver mediante la separación de las variables, a excepción de no-lineal y homogénea?

Respuesta corta: Para ecuaciones con coeficientes constantes, vive en una bonita dominio, con unas adecuadas condiciones de frontera, se puede resolver por separación de variables. Si cambiamos una de tres condiciones, entonces la mayoría del tiempo no podemos resolver por separación de variables.

Un ejemplo: una heurística es que esas ecuaciones que describen un fenómeno físico que implican la no-constante de convección no se pueden resolver por separación de variables. El famoso es la ecuación de transporte lineal $$ \frac{\partial u}{\partial t} + \vec{a}(t,x)\cdot \nabla u = 0,\etiqueta{1} $$ se describe una cantidad $u$ "flujos" en el campo de vectores $\vec{a}(t,x)$, dada la condición de límite podemos resolverlo, pero no por separación de variables. El uso de 1D configuración y constante $a$: $$ u_t + au_x = 0,\quad u(x,0) = g(x) $$ Esta ecuación se ve lo suficientemente simple como para ser resuelto por separación de variables. Desde el método de las características, la solución es $u = g(x-at)$ que es una constante para cualquier permitido condición inicial $g$. La solución "propaga", junto con el tiempo y es constante en sus características $x-at = 0$. Si está usando separación de variables, la solución que se obtenga será en la forma (probar su auto): $$ u(x,t) =\sum B_i e^{C_i(x-a)}, $$ esto nos dice que $u(x,0)$ debe ser una combinación lineal de $B e^{Cx}$. Sin embargo, si tomamos algunos condición inicial $g$ que no puede ser descompuesto en el plano de onda superposición forma, entonces esta ecuación no puede ser divisible. Por ejemplo, en $[0,aT]\times [0,T]$, si $g(x) = \ln x$, $u$ es: $$ u(x,t) = \ln (x-a). $$ EDIT: me acabo de dar cuenta anterior puede ser resuelto por la separación, por $\ln x$ en un intervalo finito puede ser escrito en la transformada de Fourier de expansión. Si cambiamos la condición inicial a$g(x) = 1/x^2$$[0,\pi]$, de la cual no dispone de expansión de la serie de Fourier en el intervalo que contiene a $0$, entonces esta ecuación no se puede resolver por separación de variables.

No importa con la forma de solución de dominio? SÍ! Importa mucho, normalmente separación depende de si podemos expresar el dominio como un "rectángulo", es decir, $[a_1, b_1] \times [a_2,b_2]\times\cdots\times [a_n,b_n]$, no importa en cylinderical el tipo de coordenadas o en coordenadas polares. Por ejemplo, MATLAB del famoso icono:
es el eigenfunction de Dirichlet-Neumann mixta de límites problema para
$$ -\Delta u =\lambda u $$ en la L-forma de dominio. Esto no puede ser resuelto mediante la separación de variables en el contraste de que la intuición por encima de problema que puede ser resuelto mediante separación de variables. Bien, vamos a analizar un poco. Homogénea de la condición de frontera de Dirichlet se impone en la forma de L no convexa de la esquina, mientras que en otros lados solo tienen homogénea Neumann límite condtion. Cada eigenfunction $u_n$'s el comportamiento cerca de la no-convexa de la curva es $$ u_n \sim \alpha_n r^{2/3}\sin \Big(\frac{2}{3}\theta\Big) + o(r^{2/3}) \approx \alpha_n(x^2+y^2)^{1/3}\sin\left(\frac{2}{3}\arctan (y/x)\right), $$ (en el segundo cuadrante necesitamos añadir otro $\pi$$\arctan$). Mientras que en el borde exterior (lado adyacente a las esquinas convexas) se comporta como $$u_n\sim \beta_n(a\cosh(n\pi x) + b\sinh(n\pi x))\cos(n\pi y), $$ o $\cos$ $x$ y las funciones hiperbólicas están en $y$. Para describir tanto singular y ola, como el comportamiento en ambos lados de la L-forma de dominio, $u_n = X(x)Y(y)$ este tipo de un one shot de expresión no existe.

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Una observación: Si hemos añadido la difusión en (1): $$ \frac{\partial u}{\partial t} = \nabla \cdot\Big(a(t,x)\nabla u + \vec{b}(t,x) u\Big).\la etiqueta{2} $$ Esto no puede ser resuelto mediante la separación.

Sin embargo, si no tenemos la convección tipo de términos $\vec{b}(t,x)\cdot \nabla u$ (este término es $\nabla \cdot (\vec{b} u)$ al $\vec{u}$ es la divergencia libre), y difusión constante que sólo depende del espacio, entonces podemos separar la variable de tiempo de la solución en (2), incluso para los de dominio general. En general cuando las $L$ es de forma elíptica y no depende del tiempo, considere la posibilidad de $$ \frac{\partial u}{\partial t} = Lu, \quad u(x,0) = g(x).\la etiqueta{3} $$ Si podemos encontrar ortonormales funciones propias $\{w_n\}$ para el autovalor problema en el espacio (por dominio general, no podemos separar variables) $$ L w = \lambda w, $$ a continuación, (3) la solución puede ser escrita como: $$ u(x,t) =\sum^{\infty}_{n=1} e^{-\lambda_n t} \langle g(x), w_n(x) \rangle w_n(x), $$ que tiene la forma de la variable de tiempo de estar separados.

También Willie Wong dio una respuesta más específica para la ecuación hiperbólica aquí: cuando se hace independiente de la variable de solución de la serie existen para un PDE