Esta es otra cuestión que me parece no trivial. Supongamos que tenemos un mapa completamente positivo $f\colon M_n \to M_m$ tal que $f(a) = I_m$ la matriz de identidad en $M_m$ . ¿Hay algún elemento positivo $b\in M_n$ tal que $f(b)=I_m$ ?
Respuesta
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La respuesta es no, en general.
Dejemos que $n=m=2$ . Definir, para $x\in M_2(\mathbb C)$ , $$ f(x)=x_{11}\,\begin{bmatrix}2&0\\0&1\end{bmatrix}+x_{22}\,\begin{bmatrix}1&0\\0&0\end{bmatrix}. $$ Este mapa es lineal. También es positivo, porque si $x\geq0$ entonces $x_{11},x_{22}\geq0$ y las dos matrices son positivas. Y es completamente positiva, porque su rango se encuentra dentro de una subálgebra abeliana de $M_2(\mathbb C)$ (el álgebra diagonal).
Tenemos $$ f\left(\begin{bmatrix}1&0\\0&-1\end{bmatrix}\right)=I_2. $$ Y no se envía ninguna matriz positiva a la identidad: si $f(x)=I_2$ , entonces necesariamente $$ 2x_{11}+x_{22}=1,\ \ x_{11}=1. $$ Así que la única solución es $x_{11}=1$ , $x_{22}=-1$ .
