Valor máximo de $x^2+y^2$

Question

Pregunta

Encuentre el valor máximo de $x^2+y^2$ si $4x^4+9y^4=64$

Ahora realmente no entiendo cómo proceder o si debo cambiar mi enfoque por completo. Cualquier ayuda es apreciada. Gracias :)

Answer 1

WLOG, $2x^2=8\cos t,3y^2=8\sin t$ donde $0\le t\le\frac\pi2$

Answer 2

$$4x^4+9y^4=64$$

$$\frac{(x^2)^2}{4^2}+\frac{(y^2)^2}{(8/3)^2}=1$$

Dejemos que $x=\pm \sqrt{4\cos(\theta)}$ y $y=\pm \sqrt{\frac{8}{3} \sin (\theta)}$ . Con $\theta \in [0,\frac{\pi}{2}]$ .

Entonces,

$x^2+y^2=4\cos (\theta)+\frac{8}{3} \sin (\theta)$

$$=\langle 4, \frac{8}{3} \rangle \cdot \langle \cos (\theta), \sin (\theta) \rangle$$

$$=\sqrt{4^2+(\frac{8}{3})^2} \cos \left( \theta-\arctan(\frac{\frac{8}{3}}{4}) \right)$$

Porque $\arctan(\frac{8}{12}) \in [0, \frac{\pi}{2}]$ . Un máximo de,

$$\sqrt{4^2+(\frac{8}{3})^2}$$

Es alcanzable.