Para simplificar, supongamos que su disco es el disco unitario. La ecuación del calor es $u_t = k\Delta u$. Un estado estacionario significa que la temperatura $u$ no cambia; por lo tanto, $u_t=0$ y se queda con la ecuación de Laplace: $\Delta u=0$ sujeto a $u(1,\theta)=f(\theta)$. La solución puede escribirse entonces:
$$u(r,\theta )=\frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\infty } r^n\left(a_n\cos (n \theta )+b_n\sin (n \theta )\right),$$
donde $a_n$ y $b_n$ son los coeficientes de Fourier de $f$, como se justifica abajo. Alternativamente, los $a_n$ y $b_n$ pueden ser reemplazados con sus representaciones integrales, el orden de la suma y la integración puede ser invertido, y (después de mucha simplificación) esto se transforma en una representación integral de la fórmula integral de Poisson:
$$u(r,\theta )=\frac{1}{2\pi }\int _{-\pi }^{\pi }f(\phi )\frac{R^2-r^2}{R^2+r^2-2R r \cos (\theta -\phi )}d\phi.$$
Esto es particularmente útil para cálculos numéricos.
Un ejemplo
Como ejemplo, supongamos que $f(\theta )=\sin (2\theta)$. Entonces, $f$ es una serie de Fourier muy corta y la solución es $u(r,\theta )=r^2\sin (2\theta)$. Esto se ve algo así:
![introduzca la descripción de la imagen aquí]()
Tenga en cuenta que $\sin(2\theta)$ sube y baja en el límite y la solución cumple muchas de las propiedades que esperamos de una solución en estado estacionario. En particular, se satisface el Principio del Máximo. Probablemente así fue como se descubrió el Pringle.
Separación de variables
Este es el esquema de la separación de variables requerida para derivar la representación de la serie de Fourier. Empezamos con la especificación polar del problema.
$$u_{rr}+\frac{1}{r}u_r+\frac{1}{r^2}u_{\theta \theta}=0,\text{ }u(1,\theta)=f(\theta).$$
Al establecer $u(r,\theta)=R(r)\Theta(\theta)$, la EDP se convierte en
$$R^{\prime\prime}\Theta +\frac{1}{r}R'\Theta +\frac{1}{r^2}R\, \Theta^{\prime\prime}=0$$
lo cual se separa en
$$-\frac{r^2R^{\prime\prime}+r\, R'}{R}=\frac{\Theta^{\prime\prime}}{\Theta}=-\lambda$$
llevándonos a las dos EDOs
$$r^2R^{\prime\prime}+r\, R'=\lambda \, R\text{ }\text{y}\text{ }\Theta^{\prime\prime}=-\lambda \, \Theta.$$
Para encontrar la estructura de los eigenvalores, nos enfocamos en la ecuación de $\theta$. Primero, observe que $\lambda =0$ es un eigenvalor con cualquier constante como una función propia representativa. Ahora, implícitas en la ecuación de $\theta$ están las condiciones de frontera periódicas $\Theta(0)=\Theta(2\pi)$ y $\Theta'(0)=\Theta'(2\pi)$. Además, la solución general de la ecuación de $\theta$ es
$$\Theta(\theta)=a \cos \left(\sqrt{\lambda}\theta\right) + b \sin \left(\sqrt{\lambda}\theta\right)$$
la cual tiene derivada
$$\Theta'(\theta)=-a\sqrt{\lambda} \sin \left(\sqrt{\lambda}\theta\right) + b\sqrt{\lambda} \cos \left(\sqrt{\lambda}\theta\right).$$
Así, las condiciones de frontera se convierten en
$$a =a \cos \left(2\pi \sqrt{\lambda}\right) + b \sin \left(2\pi \sqrt{\lambda}\right)$$
y
$$b\sqrt{\lambda}=-a\sqrt{\lambda} \sin \left(2\pi \sqrt{\lambda}\right) + b\sqrt{\lambda} \cos \left(2\pi \sqrt{\lambda}\right).$$
Esto es equivalente al sistema
$$\left(\cos \left(2\pi \sqrt{\lambda}\right)-1\right)a + \sin \left(2\pi \sqrt{\lambda}\right)b = 0\\ \\ a \sin \left(2\pi \sqrt{\lambda}\right) + \left(1-\cos \left(2\pi \sqrt{\lambda}\right)\right)b = 0$$
o
$$\left( \begin{array}{cc} \left(\cos \left(2\pi \sqrt{\lambda}\right)-1\right) & \sin \left(2\pi \sqrt{\lambda}\right) \\ \sin \left(2\pi \sqrt{\lambda}\right) & \left(1-\cos \left(2\pi \sqrt{\lambda}\right)\right) \\ \end{array} \right)\left( \begin{array}{c} a \\ b \\ \end{array} \right)=\left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ \end{array} \right).$$
Esto tiene una solución no trivial si y solo si la matriz tiene determinante cero, es decir
$$\left(\cos \left(2\pi \sqrt{\lambda}\right)-1\right)\left(1-\cos \left(2\pi \sqrt{\lambda}\right)\right) - \sin ^2\left(2\pi \sqrt{\lambda}\right) = 0.$$
Usando algunas identidades trigonométricas, esto se simplifica a $-4\sin^2\left(2\pi \sqrt{\lambda}\right)=0$. Esto implica que $\sqrt{\lambda}$ debe ser un entero positivo o $\lambda =n^2$ para algún $n \in \mathbb{N}$.
A continuación, debemos resolver la ecuación de $r$. Estableciendo $\lambda =n^2$ en la ecuación de $r obtenemos
$$r^2R^{\prime\prime}+r\, R'=n^2R.$$
Esta es llamada una ecuación de Cauchy-Euler y tiene solución general $R(r)=c_nr^{-n}+d_nr^n$, lo cual es bastante fácil de comprobar. Dado que la solución debería ser acotada, debemos tener $c_n=0$ para todos los $n$. Como resultado, obtenemos $R_n(r)=d_nr^n$ y
$$u(r,\theta )=\frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\infty } r^n\left(a_n\cos (n \theta )+b_n\sin (n \theta )\right).$$
Tenga en cuenta que el $a_0$ surge del valor propio cero y que el $d_n$ puede incorporarse en las otras constantes.
Finalmente, necesitamos elegir los $a_n$ y $b_n$ de manera que se satisfaga la condición de frontera, es decir, queremos
$$u(1,\theta )=\frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\infty } \left(a_n\cos (n \theta )+b_n\sin (n \theta )\right) = f(\theta).$$
Por lo tanto, los $a_n$ y $b_n$ son simplemente los coeficientes completos de Fourier de $f$ como se afirma.
