¿Es posible probar que los planetas deben ser aproximadamente esférica utilizando el cálculo de variaciones?

Question

¿Es posible utilizar los términos físicos que Lagrange formalismo para responder a la pregunta de ¿por qué todos los planetas son aproximadamente esféricos?

Deja para asumir que un planeta 'nace' cuando un montón de partículas ($N\rightarrow\infty$) es apilado juntos y limitado sólo por la gravedad de las partículas de $N$ con ninguna gravedad externa.

¿Mi pregunta es: es posible utilizar el cálculo variacional a partir de esta situación para demostrar que los planetas deben ser esféricos?

Answer 1

Yo) Vamos a trabajar en las unidades en donde $G=1=\rho$.

En esta respuesta, además vamos a suponer que el enorme objeto con forma de estrella. A continuación, podemos utilizar coordenadas esféricas $(r,\theta,\varphi)$. El perfil de la superficie se da como

$$\etiqueta{1} {\bf r}~=~r{\bf n}~=~f({\bf n}){\bf n}, \qquad r~=~f({\bf n})~=~\sum_{\ell m} c_{\ell m} Y_{\ell m}({\bf n})~\geq~0 ,\qquad c_{\ell m}~=~\int_{S^2}\!d^2n ~Y^{\ast}_{\ell m}({\bf n})f({\bf n}),$$

donde ${\bf n}\in S^2$ es un vector unitario. En eq. (1) hemos utilizado la DumpsterDoofus la idea de ampliar en armónicos esféricos. El volumen

$$\tag{2} V[f]~:=~ \int_V \! d^3r ~=~\frac{1}{3}\int_{S^2}\!d^2n ~ f({\bf n})^3 .$$

es un funcional de la superficie del perfil de $f({\bf n})$.

$$\tag{3} \delta V ~=~\int_{S^2}\!d^2n ~ f({\bf n})^2\delta f({\bf n}),\qquad \delta^2 V ~=~2\int_{S^2}\!d^2n ~ f({\bf n})\delta f({\bf n})^2.$$

El volumen se mantiene fija mediante una restricción

$$\tag{4} V[f]~=~V_0.$$

Potencial:

$$\etiqueta{5} -\Phi({\bf r})~:=~\int_{V} \! \frac{d^3r^{\prime}}{|{\bf r}-{\bf r}^{\prime}|} ~=~\int_{S^2}\!d^2n^{\prime}\int_0^{f({\bf n}^{\prime})}\! \frac{r^{\prime 2}dr^{\prime}}{|{\bf r}-r^{\prime}{\bf n}^{\prime}|} .$$

$$\etiqueta{6} -\delta \Phi({\bf r}) ~=~\int_{S^2}\!d^2n^{\prime} \frac{f({\bf n}^{\prime})^2\delta f({\bf n}^{\prime})}{|{\bf r}-f({\bf n}^{\prime}){\bf n}^{\prime}|}.$$

Campo:

$$\etiqueta{7} -{\bf g}({\bf r})~:=~ \nabla \Phi({\bf r}) ~=~\int_{V} \!d^3r^{\prime} \frac{{\bf r}-{\bf r}^{\prime}}{|{\bf r}-{\bf r}^{\prime}|^3} .$$

Radial de campo:

$$ -g_r({\bf r})~=~\frac{\partial\Phi({\bf r})}{\partial r} ~=~{\bf n}\cdot \nabla \Phi({\bf r}) ~=~\int_{V} \!d^3r^{\prime} \frac{r-{\bf n}\cdot{\bf r}^{\prime}}{|{\bf r}-{\bf r}^{\prime}|^3}$$ $$~=~\int_{S^2}\!d^2n^{\prime}\int_0^{f({\bf n}^{\prime})}\!r^{\prime 2}dr^{\prime} \frac{r-{\bf n}\cdot{\bf n}^{\prime}r^{\prime}}{|{\bf r}-r^{\prime}{\bf n}^{\prime}|^3}.\la etiqueta{8}$$

II) la energía Potencial:

$$ U[f]~:=~ -\iint_{V\times V} \! \frac{d^3r~ d^3r^{\prime}}{2|{\bf r}-{\bf r}^{\prime}|} ~=~ \frac{1}{2}\int_V \! d^3r ~\Phi({\bf r}) $$ $$~=~ -\int_{S^2}\!d^2n\int_{S^2}\!d^2n^{\prime} \int_0^{f({\bf n})}\int_0^{f({\bf n}^{\prime})} \frac{r^2dr~ r^{\prime 2}dr^{\prime}}{2|r{\bf n}-r^{\prime}{\bf n}^{\prime}|}.\la etiqueta{9}$$

$$\etiqueta{10} \delta U ~=~\int_{S^2}\!d^2n ~ f({\bf n})^2\delta f({\bf n})~\Phi(f({\bf n}){\bf n}).$$

$$ \delta^2 U~=~-\int_{S^2}\!d^2n\int_{S^2}\!d^2n^{\prime}~ \frac{f({\bf n})^2\delta f({\bf n})~ f({\bf n}^{\prime})^2\delta f({\bf n}^{\prime})}{|f({\bf n}){\bf n}-f({\bf n}^{\prime}){\bf n}^{\prime}|}$$ $$ -\int_{S^2}\!d^2n~ f({\bf n})^2 ~\delta f({\bf n})^2g_r(f({\bf n}){\bf n}) +2\int_{S^2}\!d^2n~f({\bf n})\delta f({\bf n})^2 \Phi(f({\bf n}){\bf n}).\la etiqueta{11}$$

III) Para el tratamiento de la restricción (4) el uso de Lagrange multiplier método. Debemos minimizar el funcional

$$\tag{12} E[f]~:=~U[f] +\lambda (V_0-V[f]).$$

La primera variación es $$\etiqueta{13} \delta E ~=~\int_{S^2}\!d^2n ~ f({\bf n})^2\delta f({\bf n}) \{\Phi(f({\bf n}){\bf n})-\lambda\}.$$

Llegamos a la conclusión de que

La superficie potencial de $\Phi(f({\bf n}){\bf n})=\lambda<0$ de una forma estacionaria $f$ es una constante, es decir, independiente de la unidad de vectores ${\bf n}$.

La segunda variación es

$$ \delta^2 E~=~-\int_{S^2}\!d^2n\int_{S^2}\!d^2n^{\prime}~ \frac{f({\bf n})^2\delta f({\bf n})~ f({\bf n}^{\prime})^2\delta f({\bf n}^{\prime})}{|f({\bf n}){\bf n}-f({\bf n}^{\prime}){\bf n}^{\prime}|}$$ $$ -\int_{S^2}\!d^2n~ f({\bf n})^2 \delta f({\bf n})^2g_r(f({\bf n}){\bf n}) +2\int_{S^2}\!d^2n~f({\bf n})\delta f({\bf n})^2 \underbrace{\{\Phi(f({\bf n}){\bf n})-\lambda\}}_{=0}.\la etiqueta{14}$$

Por razones de sistemática, la segunda variaciones (14) debe ser consistente con la restricción (4) a la primera orden.

IV) finalmente Hemos de considerar una bola de $f({\bf n})=R$. Entonces tenemos

$$V~=~\frac{4\pi}{3}R^3, \qquad {\bf g}({\bf r})~=~-\frac{4\pi}{3}{\bf r}, \qquad \Phi({\bf r})~=~2\pi\left(\frac{r^2}{3}-R^2\right), \qquad \Phi(R)~=~-\frac{4\pi}{3}R^2, \qquad U~=~-\frac{16\pi^2}{15}R^5.\tag{15}$$

Queremos mostrar que la pelota es un estable de forma estacionaria. Tenemos que mostrar que la segunda variación (14) es semipositive definitiva. Eq. (3) se simplifica a

$$\etiqueta{16} \frac{\delta V}{R^3} ~=~\int_{S^2}\!d^2n ~\delta f({\bf n}) ~=~\sqrt{4\pi}\delta c_{00},$$

$$\etiqueta{17}\frac{\delta^2 V}{2R^3}~=~\int_{S^2}\!d^2n ~|\delta f({\bf n})|^2 ~=~\sum_{\ell m}|\delta c_{\ell m}|^2.$$

Desde la restricción (4) debe ser mantenida a la primera (pero no necesariamente de segundo orden, debemos exigir que la zeromode se desvanece

$$\tag{18}\delta c_{00}~=~0.$$

La segunda variación (14) se simplifica a (ver, por ejemplo, Ref. 1)

$$ \frac{\delta^2 E}{R^3} ~=~-\int_{S^2}\!d^2n \int_{S^2}\!d^2n^{\prime}~\frac{\delta f({\bf n})~\delta f({\bf n}^{\prime})^{\ast}}{|{\bf n}-{\bf n}^{\prime}|} -\frac{g_r(R)}{R}\int_{S^2}\!d^2n~\delta f({\bf n})^2 $$ $$~=~-\int_{S^2}\!d^2n\int_{S^2}\!d^2n^{\prime}~\delta f({\bf n})~\delta f({\bf n}^{\prime})^{\ast}\sum_{\ell m} \frac{4\pi}{2\ell+1}Y^{\ast}_{\ell m}({\bf n})Y_{\ell m}({\bf n}^{\prime})$$ $$+\frac{4\pi}{3}\int_{S^2}\!d^2n~|\delta f({\bf n})|^2 $$ $$~=~4\pi\sum_{\ell m}\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{2\ell+1}\right)|\delta c_{\ell m}|^2 ~\geq~0,\tag{19}$$

lo cual no es negativo, ya que el zeromode (18) está ausente. Por lo que la pelota es un estable de forma estacionaria.

Referencias:

1. J. D. Jackson, la Electrodinámica Clásica; el capítulo 3.

Answer 2

Yo interpreté la pregunta como preguntar si es posible demostrar que una esfera es el mínimo de energía en la forma de un objeto que se actuó por su propia gravedad. He intentado hacerlo mediante armónicos esféricos, pero se quedó atascado parte del camino; les dejo esto de todos modos en caso de que alguien puede averiguar cómo completar el último bit.

La gravitacional de la auto-energía de una distribución de materia $\rho(\mathbf{r})$, lo que da lugar a un potencial gravitatoria $V(\mathbf{r})$ está dado por $$E=\frac{1}{2}\left\langle V,\rho\right\rangle=\frac{1}{2}\left\langle \nabla^{-2}\rho,\rho\right\rangle$$ donde $\langle,\rangle$ representa el interior del producto y de la $\nabla^{-2}$ es la inversa de Laplace. Si hay un cambio en la distribución de materia $\rho=\rho_0+\delta\rho$, entonces la auto-cambios de energía para $$E=\frac{1}{2}\left\langle \nabla^{-2}(\rho_0+\delta\rho),\rho_0+\delta\rho\right\rangle=\frac{1}{2}\left\langle \nabla^{-2}\rho_0,\rho_0\right\rangle+\left\langle \nabla^{-2}\rho_0,\delta\rho\right\rangle+\frac{1}{2}\left\langle \nabla^{-2}\delta\rho\delta\rho\right\rangle \\ =E_0+\delta E+O(\delta^2)$$ donde la auto-adjointness del Laplaciano se utilizó en el segundo al último paso.

Por lo tanto, es suficiente para determinar el signo de $\delta E=\left\langle V_0,\delta\rho\right\rangle$. Desde $V_0$ es sólo el potencial gravitacional de un uniforme de la densidad de la esfera (que ha simple forma cerrada) esto se convierte en manejable.

Deje que la densidad de la materia se $\rho_d$ y asumir el planeta es incompresible. El radio del planeta $R(\Omega)$ puede ser ampliado en el real armónicos como $$R(\Omega)=R_0+\sum_{L=0}^\infty\sum_{m=-L}^L\delta C_{Lm}Y_{Lm}(\Omega)=R_0+\delta R(\Omega).$$ Para conservar el volumen, tenga en cuenta que $$V=\frac{4}{3}\pi R_0^3=\frac{1}{3}\int R(\Omega)^3\,d\Omega=\frac{1}{3}\int \left(R_0+\sum_{I=0}^\infty\sum_{m=-L}^L\delta C_{Lm}Y_{Lm}(\Omega)\right)^3\,d\Omega \\ =\frac{4}{3}\pi R_0^3+2\sqrt{\pi}R_0^2\delta C_{00}+R_0\sum_{I=0}^\infty\sum_{m=-L}^L\delta C_{Lm}^2+O(\delta^3) \\ \Rightarrow \delta C_{00}=-\frac{1}{2\sqrt{\pi}R_0}\sum_{I=1}^\infty\sum_{m=-L}^L\delta C_{Lm}^2+O(\delta^3). $$ Dado que el volumen de la conservación de plazo $\delta C_{00}$ escalas como $\delta^2$ vamos a volver a escribir como $\delta^2C_{00}$, dando $$R(\Omega)=R_0+\sum_{L=1}^\infty\sum_{m=-L}^L\delta C_{Lm}Y_{Lm}(\Omega)+Y_{00}\delta^2C_{00}=R_0+\delta R_1+\delta^2 R_2.$$ Con un poco de visualización se puede ver que $$\left\langle V_0,\delta\rho\right\rangle=\int d\Omega R(\Omega)^2\int_{R_0}^{R(\Omega)}V_0(r)\rho_d\,dr \\ =\int d\Omega R(\Omega)^2\left[-\frac{G M R_1 \rho_d}{R_0}\delta+\frac{GM(R_1^2-2R_0R_2)\rho_d}{2R_0^2}\delta^2+\:...\right] \\ =\int d\Omega\left[-GMR_0\delta R_1\rho_d-\frac{1}{2}GM\rho_d\left(3(\delta R_1)^2+2R_0\delta^2R_2\right)\:...\right]$$ donde en el último paso en términos de la integral se han organizado de acuerdo a su orden en $\delta$.

El primer término se desvanece debido a la simetría de la real armónicos, y el segundo término se simplifica debido a orthonormality para convertirse en $$=-\frac{1}{2}GM\rho_d\left[3\sum_{I=1}^\infty\sum_{m=-L}^L\delta C_{Lm}^2-2\sum_{I=1}^\infty\sum_{m=-L}^L\delta C_{Lm}^2\right] \\ =-\frac{1}{2}GM\rho_d\sum_{I=1}^\infty\sum_{m=-L}^L\delta C_{Lm}^2<0.$$ Por desgracia, esto predice que el cambio de energía es siempre favorable a la deformación, en lugar de siempre desfavorable! Así que debe haber un error aritmético en algún lugar, pero estoy demasiado cansado para averiguar de dónde es (las unidades en menos trabajo correctamente a Joules). Sin embargo, esto da una idea general de cómo se puede proceder de abajo de esta línea de prueba.