El paso inductivo es una prueba de una insinuación: usted está demostrando que si la propiedad que usted desea sostiene por $k$, entonces que tiene de $k+1$.
Es un resultado de la lógica formal que si usted puede probar que $P\rightarrow Q$ ($P$ implica $Q$), luego de $P$ usted puede probar que $P$; y a la inversa, que si desde suponiendo que $P$ es cierto que usted puede probar que $P$, entonces usted puede ser P $\rightarrow Q$.
Hacemos esto prácticamente cada vez que demostrar algo. Por ejemplo, supongamos que queremos demostrar que si $n$ es un número natural, entonces $n^2$ es un número natural. ¿Cómo podemos empezar? "Vamos a $n$ ser un número natural." Espera! ¿Por qué se le permite sólo asume que usted ya tiene un número natural? No tienes que empezar por demostrar que es un número natural? La respuesta es no, no tenemos, porque no estamos tratando de demostrar un absoluto, estamos tratando de demostrar un condicional declaración: que si $n$ es un número natural, entonces algo pasa. Así que podemos empezar por asumir que estamos ya en el caso de que el antecedente es verdadero. (Intuitivamente, esto es debido a que si el antecedente es falso, la implicación es necesariamente cierto y no hay nada que hacer; formalmente, es porque el Teorema de la Deducción, que es lo que he descrito anteriormente, le dice que si te las arreglas para encontrar una prueba formal que termina con "$n^2$ es un número natural", asumiendo que "$n$ es un número natural" es cierto, a continuación, puede utilizar la prueba a producir una prueba formal que establece la implicación "si $n$ es un número natural entonces $n^2$ es un número natural"; no tenemos que ir a través del ejercicio de que en realidad la producción de la última prueba, sabemos que es "por ahí").
Esto lo hacemos en el Cálculo: "si $\lim\limits_{x\a x_0}f(x) = a$ y $\lim\limits_{x\a x_0}g(x) = b$, entonces $\lim\limits_{x\a x_0}(f(x)+g(x)) = a+b$." ¿Cómo podemos demostrar esto? Comenzamos suponiendo que el límite de $f(x)$ $x\a x_0$ es $un$, y que el límite de $g(x)$ $x\a x_0$ es $b$. Asumimos la premisa/antecedente, y procede a probar el consecuente.
Lo que esto significa en el caso de la inducción es que, desde el "Paso Inductivo" es en realidad una declaración en la que dice que una consecuencia se tiene:
$$\mbox{"Es" tiene por $k$}\rightarrow \mbox{"es" tiene por $k+1$},$$
a continuación, con el fin de demostrar esta implicación se puede comenzar por asumir que el antecedente ya es verdad, y luego procede a probar el consecuente. Suponiendo que el antecedente es verdadero es, precisamente, la "Hipótesis de Inducción".
Cuando haya terminado con el paso inductivo, de hecho no se ha probado que se vale para cualquier particular número, usted tiene sólo muestra que si se cumple para un número determinado de $k$, entonces debe mantener para el próximo número de la $k+1$. Es un condicional de la declaración, no absoluta.
Es sólo cuando usted combina eso instrucción condicional con la base, la cual es una declaración absoluta de que dice que "es" se aplica para un número específico, que se puede concluir que la declaración original tiene para todos los números naturales (mayor que o igual a la base).
Ya que usted menciona que dominó en su título, supongo que usted está familiarizado con el estándar de la metáfora de la inducción como fichas de dominó que están de pie a todos en una fila de caer. El paso inductivo es como argumentar que todas las fichas de dominó caerán si usted derrocar a la primera (sin llegar a derrocar a): en primer lugar, sostienen que cada domino es lo suficientemente cerca para que el próximo domino, de modo que si uno se cae, entonces la próxima cae. No está cayendo cada domino. Y cuando se discute esto, argumentar a lo largo de las líneas de "supongamos que este se cae; ya que su longitud es ...", es decir, se asume que cae en el fin de argumentar que el próximo va a continuación de otoño. Este es el mismo con el paso inductivo.
En cierto sentido tienes razón en que si se siente como "hacer trampa" para asumir lo que usted quiera; pero el punto es que no son realmente suponiendo que lo desee. De nuevo, el paso inductivo no en el hecho de establecer que el resultado se cumple para cualquier número, sólo establece un condicional declaración. Si el resultado pasa a ser para algunos $k$, entonces sería necesariamente tiene que valen también para $k+1$. Pero estamos completamente en silencio si en realidad vale para $k$ o no. No estamos diciendo nada acerca de que en el inductivo-paso de la etapa.
Agregó: he Aquí un ejemplo para subrayar que el "paso inductivo" no hace ninguna declaración absoluta, pero sólo una instrucción condicional: Supongamos que queremos demostrar que para todos los números naturales $n$, $n+1 = n$.
Inductivo paso. Inducción de la Hipótesis: La declaración sostiene por $k$; es decir, estoy suponiendo que $k+1 = k$.
Para ser probado: La declaración sostiene por $k+1$. En efecto: observe que puesto que $k+1= k$, entonces la adición de uno a ambos lados de la ecuación tenemos $(k+1)+1 = k+1$; esto demuestra que la instrucción tiene por $k+1$. QED
Esto es perfectamente válida la prueba! Se dice que si $k+1=k$, entonces $(k+1)+1=k+1$. Esto es cierto! Por supuesto, el antecedente nunca es verdadera, pero la implicación es. La razón de esto no es una prueba plena por la inducción de una declaración falsa es que no hay una "base"; el paso inductivo sólo demuestra la condicional, nada más.
Por cierto: Sí, la mayoría de las pruebas por inducción que uno se encuentra temprano en involucrar a manipulaciones algebraicas, pero no todas las pruebas por inducción son de ese tipo. Considere el siguiente simplificada del juego de Nim: hay un cierto número de cerillas, y los jugadores alternan toma $1$, $2$, o $3$ cerillas en cada turno. La persona que toma la última cerilla gana.
La proposición. En la versión simplificada del juego, el primer jugador tiene una estrategia ganadora si el número de cerillas no es divisible por $4$, y el segundo jugador tiene una estrategia ganadora si el número de cerillas es divisible por 4.
La prueba es por (fuerte), la inducción, y no implica manipulaciones algebraicas que sea.
