Algunas cuestiones básicas relacionadas con los momentos de una distribución de probabilidad

Question

Los libros de texto disponibles en la mayoría de los casos evitan mayores detalles sobre algunos de los temas relacionados con los momentos de una distribución de probabilidad y siento que algunos de esos temas no me quedan realmente claros. Creo que alguien me puede explicar las siguientes dudas con mucha claridad.

Consulta-1: Sigo leyendo que las funciones características son finitas porque tiene un módulo menor o igual a 1 y también que la MGF no siempre existe. Por eso necesitamos funciones características. Sí, lo entiendo, $e^{itx}=\cos(tx)+i \sin(tx)$ y el módulo $|r|=\sqrt{\cos^2(tx)+\sin^2(tx)}=1$ . Pero, ¿cómo determina esto que las funciones características existan siempre? ¿Cuál es la respuesta precisa a por qué necesitamos funciones características?

Consulta-2: No entiendo cómo los momentos centrales tercero y cuarto (y, por tanto, los coeficientes de Pearson de asimetría y curtosis) determinan la asimetría y el punto máximo de una distribución.

Answer 1

1. Existencia. Si tenemos una variable aleatoria $x$ con la función de densidad $f(x)$ entonces sabemos que $$\int_{-\infty}^\infty f(x) dx=1$$ reescríbalo de la siguiente manera $$1=\int_{-\infty}^\infty 1\cdot f(x) dx\ge |\int_{-\infty}^\infty(\cos tx + i \sin tx)\cdot f(x) dx|$$ simplemente porque $$1\ge |\cos tx + i \sin tx|$$

Por lo tanto, la función característica siempre existe $$E[e^{itx}]\equiv \int_{-\infty}^\infty e^{itx} f(x) dx$$

No es una prueba que aceptaría un matemático de verdad, pero querías una intuición. Básicamente, $e^{iz}$ limita el resultado a $[-1,1]$ y ya sabemos que la función de densidad produciría una integral finita con incluso todos los 1s.

2. La simetría es fácil.

La desviación se define como $\int_{-\infty}^\infty x^3 f(x)$ así que si tu densidad es simétrica, es decir $f(x)=f(-x)$ la desviación tiene que ser cero porque..: $$\int_{-\infty}^0 -x^3 f(-x) dx= -\int_0^\infty x^3 f(x)dx$$

Nota, el comentario de @whuber: skew=0 es necesario para la simetría, no es suficiente sin embargo. Usted puede construir fácilmente distribución asimétrica con sesgo cero. Todo lo que necesitas es hacer que el lado izquierdo de 0 se suma a la parte derecha, y las formas de estos lados no tienen que ser los mismos.

Estoy asumiendo que la media es cero aquí, es decir, la simetría es alrededor del origen, pero no es importante, siempre se puede volver a centrar.

La curtosis se define como $$\frac{\int_{-\infty}^\infty x^4 f(x)dx}{(\int_{-\infty}^\infty x^2 f(x)dx)^2}$$ . Si se tratara de un caso discreto, el numerador tendría términos como $x_i^4 p_i$ donde $p_i$ probabilidad de un valor $x_i$ . Por otro lado, el denominador tendría términos como $x_i^4 p_i^2$ . Así, los valores de cola con potencia 4 entrarán con peso $p_i$ en el numerador, pero con el peso $p_i^2$ en el denominador. La cola pesada hará que la curtosis sea mayor.

@whuber notó un error en mi explicación anterior de la curtosis.