Clase Stiefel-Whitney, obstrucciones y secuencias exactas

Question

• La primera clase de Stiefel-Whitney $w_1$ es cero si y sólo si el haz es orientable. En particular, una colector $M$ es orientable si y sólo si $w_1(TM) = 0$ .

• La primera y la segunda clase de Stiefel-Whitney son cero, $w_1(TM) =w_2(TM) = 0$ si y sólo si el haz admite una estructura de espín.

• La tercera clase integral de Stiefel-Whitney es cero si y sólo si el haz admite un espín $^c$ estructura.

Preguntas: ¿Existen formas obvias de relacionar y codificar las obstrucciones anteriores en términos de lenguajes de extensión de grupos? Por ejemplo, el fracaso del pullback de un grupo $G$ a un grupo $G'$ . ¿Y cómo $w_1(TM)$ , $w_1(TM)^2$ , $w_2(TM)$ y la tercera clase integral de Stiefel-Whitney entran en el mapa de homomorfismo en las secuencias exactas?

Mis intentos :

1. Me parece que para $w_1(TM)^2$ es algo que tiene que ver con la clasificación de las extensiones: $$ 1 \to \mathbb{Z}_2 \to SO(3) \rtimes \mathbb{Z}_4 \to O(3) \to 1 $$ o para el impar $n$ (¿qué tal el par $n$ ) $$ 1 \to \mathbb{Z}_2 \to SO(n) \rtimes \mathbb{Z}_4 \to O(n) \to 1 $$ ¿Cuál es la extensión y la obstrucción para clasificar $w_1(TM)$ ?

2. Me parece que para $w_2(TM)$ es algo que tiene que ver con la clasificación de las extensiones: $$ 1 \to \mathbb{Z}_2 \to Spin(n) \to SO(n) \to 1 $$

3. Me parece que para la integral $\tilde w_3(TM)$ es algo que tiene que ver con la clasificación de las extensiones: $$ 1 \to \mathbb{Z}_2 \to Spin^c(n) \to SO(n)\times U(1) \to 1 $$ que podemos ver (?) el $$ Spin^c(n) =\frac{Spin(n)\times U(1)}{\mathbb{Z}_2}. $$

Answer 1

Puede que esté pensando en el Torre de Whitehead del grupo ortogonal . Dada una variedad $M$ su haz tangente clasifica un mapa $\tau_M: M \to BO$ . Si nos dan un homomorfismo de grupo $G \to O$ podemos preguntarnos si el grupo estructural del haz tangente se reduce a $G$ . Por ejemplo, pedir un $SO$ -es lo mismo que exigir $M$ para ser orientable. En términos de clasificación de mapas, esto significa una elevación del clasificador tangente a lo largo de $BG \to BO$ : $$\begin{array}{ccc} & & BG \\ & \nearrow & \downarrow \\ M & \xrightarrow[\tau_M]{} & BO \end{array}$$

En el caso $G = SO$ tenemos que $BSO$ es la fibra de un mapa $w_1: BO \to K(\mathbb{Z}/2,1)$ . Así que la existencia de un ascensor $M \to BSO$ equivale a pedir que el compuesto $w_1(M): M \to BO \to K(\mathbb{Z}/2,1)$ es nulo-homotópico. Esto significa que $M$ es orientable si $w_1(M) = 0$ .

Podemos seguir subiendo por la torre Whitehead para $BO$ . Supongamos que $M$ es orientable. Para elevar el clasificador tangente a $B\mathrm{Spin}$ y dotar $M$ con una estructura de giro es pedir que $w_2(M): M \to BSO \to K(\mathbb{Z}/2,2)$ es cero.
$$\begin{array}{ccccc} & & \downarrow \\ & & B\mathrm{Spin} & \xrightarrow{\frac{p_1}{2}} & K(\mathbb{Z},4) \\ & & \downarrow \\ & & BSO & \xrightarrow{w_2} & K(\mathbb{Z}/2,2) \\ & & \downarrow \\ M & \xrightarrow[\tau_M]{} & BO & \xrightarrow{w_1} & K(\mathbb{Z}/2,1) \end{array}$$

En este diagrama, cada parte en forma de "L" (por ejemplo, $B\mathrm{Spin} \to BSO \to K(\mathbb{Z}/2,2)$ ) es una secuencia de fibras que utilizamos para reformular el problema de la reducción a un grupo estructural en términos de clases de cohomología. Estas secuencias de fibras son encarnaciones de las extensiones de grupos que has descrito, por ejemplo $$1 \to SO \to O \xrightarrow{\det} \mathbb{Z}/2 \to 1$$ $$1 \to \mathbb{Z}/2 \to \mathrm{Spin} \to SO \to 1.$$