¿Es esta afirmación verdadera? Si así, no sé por qué, alguien puede explicarme por favor:
$$\int{-\infty}^\infty e^{-(k-x)^2} \,dx=\int{-k}^k e^{-x^2} \,dx$$
¡Gracias!
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Przemysław Scherwentke
Puntos
6922
Vamos a ver.
Deje $y = k-x$. A continuación,$\frac{dy}{dx} = -1$, lo $dx = -dy$. Como $x \to \pm \infty$,$y \to \mp \infty$, de modo que los límites de intercambio.
A continuación, $$\int_{-\infty}^\infty e^{-(k-x)^2}\, dx = -\int_{\infty}^{-\infty} e^{-y^2}\, dy = \int_{-\infty}^\infty e^{-y^2}\, dy.$$
Así que yo diría que no.
Un enfoque diferente: la de considerar que el $\frac{1}{\sqrt{\pi}}\int_{-\infty}^\infty e^{-(x-k)^2}\, dx = 1$ es la CDF de una variable aleatoria normal con media de $k$ y la varianza $\frac12$. Mientras tanto, $\frac{1}{\sqrt{\pi}}\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2}\, dx = 1$ es la CDF de una variable aleatoria normal con media de $0$ y la varianza $\frac12$. Establecemos la igualdad. Obviamente, como el integrando es estrictamente positivo, límites finitos de la integración no aceptaba la igualdad.
