Condiciones para la invertibilidad de la matriz doblemente estocástica.

Question

Estoy tratando de encontrar las condiciones para la invertibility de la matriz resultante de la combinación convexa de todas las posibles permutaciones de las matrices de dimensión $n \times n$ (para ponerlo en contexto, y en caso de que ayuda, cada una de las matrices de permutación identifica un orden diferente en el que un agente de rango n distintas alternativas), donde:

• una matriz de permutación es una matriz cuadrada en la que cada columna/fila tiene exactamente un elemento igual a 1, y toma el valor de cero en otro lugar.
• una doblemente estocástica de la matriz es una matriz cuadrada no negativa de los números reales para los cuales la fila de la suma y la columna de la suma es igual a 1
• una combinación convexa es una combinación lineal cuyos coeficientes agregar hasta 1

Así, por ejemplo, para $n=3$ el objeto de estudio sería: $$ \tau_{1}\left[\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right]+\tau_{2}\left[\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 0 \end{array}\right]+\tau_{3}\left[\begin{array}{ccc} 0 & 1 & 0\\ 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right]+\tau_{4}\left[\begin{array}{ccc} 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\\ 1 & 0 & 0 \end{array}\right]+\tau_{5}\left[\begin{array}{ccc} 0 & 0 & 1\\ 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 \end{array}\right]+\tau_{6}\left[\begin{array}{ccc} 0 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 0\\ 1 & 0 & 0 \end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc} \tau_1+\tau_2 & \tau_3+\tau_4 & \tau_5+\tau_6\\ \tau_3+\tau_5 & \tau_1+\tau_6 & \tau_2+\tau_4\\ \tau_4+\tau_6 & \tau_2+\tau_5 & \tau_1+\tau_3 \end{array}\right] $$ donde $\sum_{i=1}^{6}\tau_{i}=1$ $\tau_{i}\geq0$ todos los $i=1,...,6$.

Por supuesto, estoy buscando las respuestas en el caso de los $n$.

Incluso las condiciones bajo las cuales la matriz resultante es no singular para un número finito de valores que siguen haciendo por mí.

Existe un patrón de referencia para este? No pude encontrar ninguna, pero como yo no soy un matemático, sospecho que puede ser algo realmente obvio que se aborda, por ejemplo, en los conjuntos de problemas.

Gracias!

Answer 1

Una condición simple para invertibility es estrictamente diagonal de la dominación. En este caso, el cambio de notación, de modo que usted tiene $\tau_0,\tau_1,\dots,\tau_{n!-1}$ multiplicando $P_0,\dots,P_{n!-1}$$P_0=I$, que la condición lee $\tau_0>\sum_{i=1}^{n!-1} \tau_i$. Esta condición puede ser relajado para permitir que usted arbitrariamente permutar filas, por lo que también es suficiente para tener cualquier $i$$\tau_i>\sum_{j \in \{ 0,1,\dots,n!-1 \},j \neq i} \tau_j$.

Este criterio no es del todo completa, pero le da un tamaño decente de la familia de los casos a trabajar. También hay no invertible casos como el de $\begin{bmatrix} 1/2 & 1/2 \\ 1/2 & 1/2 \end{bmatrix}$ que están "en el límite", es decir, tienen un $i$$\tau_i=\sum_{j \in \{ 0,1,\dots,n!-1 \},j \neq i} \tau_j$.