Campo Eléctrico de un Cilindro Hueco

Question

Supongamos que tenemos un cilindro hueco con una carga $q$, radio $r$ y altura $h$ como en la figura de abajo.

Estoy tratando de encontrar el campo eléctrico perpendicular a la superficie del cilindro hueco. Creo que la manera más fácil es utilizando la ley de Gauss, que es; $$ \phi_E=\int_SEdA= \frac Q{\epsilon_0} $$ Así que cuando aplicamos la superficie gaussiana (que elegí como un cilindro), debemos tomar la integral de superficie de la misma. Sin embargo, no puedo entender el resto. ¿Cuál sería la ecuación final cuando intentamos encontrar $E$ en función de $q$, $r$, $h$, $\pi$ y $\epsilon_0$?

Además, ¿sería el campo eléctrico dentro del cilindro 0 debido a la simetría y ya que todos los vectores del campo eléctrico que son ejercidos por cada carga se cancelarían entre sí?

Answer 1

Estoy asumiendo aquí que el cilindro es "infinitamente largo", o al menos muy largo, por lo que $ h >> r $. De lo contrario, hay complicados "efectos de extremo" no integrables, pero parece que no estás interesado en esos.

Como dijiste, necesitas la ley de Gauss. Sin embargo, estás perdiendo algo importante si eliminas la notación vectorial, así que la he vuelto a añadir. $$ \phi_E = \int_S \vec{E} \cdot d\vec{A} = \frac{Q}{\epsilon_0} $$ La parte crítica, que ya has hecho, es elegir una superficie en la que $E$ sea constante, de modo que la integral sea fácil de evaluar.

Debes elegir una superficie cilíndrica de radio $R$ y altura $L$, centrada en el eje del cilindro cargado. Se muestra una ilustración de esa superficie (en verde) aquí:

Con esa elección de superficie, simplemente por simetría, el campo $E$ debe tener el mismo valor y la misma dirección en relación con el vector normal $d\vec{A}$, en todas partes de la parte curva de la superficie.

En los extremos planos de tu superficie cilíndrica, el campo $E$ no es constante, pero es paralelo a la superficie, y por lo tanto perpendicular al vector de superficie $d\vec{A}$, por lo que el producto escalar $\vec{E} \cdot d\vec{A}$ es cero en esas superficies, y podemos ignorarlas en la integral.

Aquí he dividido la integral en dos partes: la integral sobre la parte curva de la superficie y los extremos planos, y he evaluado ambas partes de la integral.

$$\int_{curva} \vec{E} \cdot d\vec{A} + \int_{extremos} \vec{E} \cdot d\vec{A} = \frac{Q}{\epsilon_0}$$ $$\int_{curva} E dA + 0 = \frac{Q}{\epsilon_0}$$ $$E \int_{curva} dA = \frac{Q}{\epsilon_0}$$ $$E ~ A_{curva} = \frac{Q}{\epsilon_0}$$ $$E ~ 2 \pi R L = \frac{Q}{\epsilon_0}$$

Observa que en la parte curva, dado que $\vec{E}$ y $d\vec{A}$ están en la misma dirección, su producto escalar es simplemente $E dA$, y dado que la magnitud $E$ es la misma en todas partes, podemos eliminarla de la integral como una constante. Entonces simplemente estamos integrando $dA$, lo que nos da simplemente el área de esa parte de la superficie.

El último trabajo que tenemos que hacer es encontrar cuánta carga ($Q$) hay dentro de nuestra superficie. La densidad de carga es $\sigma = \frac{q}{2 \pi r h}$

Hay dos casos.

1. Si $R > r$, entonces $Q = 2 \pi r L \sigma = q \frac{L}{h}$.
2. Si $R < r$, entonces no hay carga dentro de nuestra superficie, por lo que $Q = 0$.

Por lo tanto, usando nuestra versión final de la ley de Gauss:

$$E ~ 2 \pi R L = \frac{Q}{\epsilon_0}$$ $$E = \frac{Q}{2 \pi \epsilon_0 R L}$$

Y nuestra respuesta final es:

$R;$$E(R) = 0$$ $R>r$;$$E(R) = \frac{q}{2 \pi \epsilon_0 R h}$$

Answer 2

Su respuesta es correcta pero el cilindro es de longitud infinita, por lo que debe expresar el campo eléctrico en términos de la densidad de carga superficial, no en términos de la carga total.

$$ E = \frac{\sigma}{\epsilon_0} \frac{r}{R} $$