Vector tangente acomplejado, colector complejo

Question

Consideremos una submanifold compleja $M$ de un espacio vectorial ambiental complejo $X$ . Supongamos que tienes un punto base $p \in M$ y un $C^1$ arco $\gamma(t)$ de paso $p$ y permanecer en $M$ con el vector tangente en $p$ denotado por $u$ (el vector tangente se toma considerando $X$ como un espacio vectorial real, y $\gamma : [0,1] \rightarrow M$ ). ¿Existe una curva analítica compleja $\tilde{\gamma} : \Delta \rightarrow M$ ( $\Delta$ siendo un disco complejo) que pasa por $p$ cuya imagen está en $M$ con el vector tangente en $p$ igual a $u$ (como elemento de $T_pM$ ) ? ¿Y si la curva $\gamma$ sólo es diferenciable en $p$ ? Intuitivamente creo que la respuesta es sí, pero no puedo construir dicha curva $\tilde{\gamma}$ . Gracias de antemano por su ayuda

Answer 1

Sólo trabaja en coordenadas locales, por lo que estás empezando con el vector $v\in\mathbb C^k$ y consideremos la línea compleja abarcada por $v$ .