Pregunta en el espacio de probabilidad medidas de

Question

Definir la variación total de la norma en el espacio de probabilidad medidas de $\mathcal{P}(\mathbb{R}^d)$ por $$ \Vert \mu \nu \Vert = \sup_D\lbrace | \mu(D) - \nu(D)| \rbrace. $$ Te voy a mostrar que para cada $\varepsilon > 0$, me parece una $\delta > 0$ de manera tal que siempre que $\Vert \mu - \nu \Vert < \delta$, hay medidas de $\tau, \mu', \nu'$ tal que \begin{align*} \mu &= (1-\varepsilon)\tau + \varepsilon \mu', \\ \nu &= (1- \varepsilon)\tau + \varepsilon \nu'. \end{align*} Bastaría para mostrar que hay un $\tau$ tal que $\mu, \nu \geq (1-\varepsilon)\tau$. He tratado de hacer esto mediante la elección de $\tau$ como el centro de una bola de diámetro $\delta$ contiene $\mu$$\nu$, de modo que $(1-\varepsilon)\tau$ descendería demasiado lejos de la pelota, provocando la desigualdad, pero esto, obviamente, no funciona desde $\tau$ puede estar muy cerca de $0$ y la diferencia entre el $(1 - \varepsilon)\tau$ $\tau$ sería insignificante en comparación con $\delta$.

Jugando con los mínimos de $\mu(D), \nu(D)$ no está funcionando bien, ya que no puede construir un $\sigma$-aditivo medida por la combinación de ellos.

Sé que el espacio que nos encontramos es un espacio métrico completo.

Answer 1

Deje $\lambda = \mu +\nu$. Deje $f$ $g$ ser las densidades de $\mu $ $\nu $ w.r.t. $\lambda$ Deje $\tau (A)=\int_A \min \{f,g\} d\lambda$$\tau \leq \mu$$\tau \leq \nu$. De curso $\tau $ no es una medida de probabilidad. Se puede utilizar ahora el hecho de que $||\mu -\nu || <\delta$ para ver de que forma normalizada de $\tau $ funciona? [Hablando a groso modo $f$ $g$ son casi los mismos y $\tau $ es casi una probabilidad de medida].