Cómo calcular el área del sector de una elipse *desde un foco*

Question

¿Cómo se calcula el área de un sector de una elipse cuando el ángulo del sector se dibuja desde uno de los focos? En otras palabras, ¿cómo encontrar el área barrida por la anomalía verdadera?

Hay algunas respuestas en Internet para cuando el sector se dibuja desde el centro de la elipse, pero no desde los focos.

Answer 1

El área será $$\int_{\theta_1}^{\theta_2}\frac{1}{2}r^2d\theta,$$ donde $r=r(\theta)$ es la ecuación de la elipse, con el origen polar en el foco.

Imagina una elipse con semieje mayor $a$ y excentricidad $e$, y con uno de los focos en el origen, y el otro foco en la semi-recta $\theta=0$ (así que a la "derecha" del origen). Entonces la ecuación polar de la elipse es $$r=\frac{a(1-e^2)}{1-e\cos\theta}.$$

El resto es desagradable. Existe una forma cerrada para la antiderivada. Uno podría preguntarle a Wolfram Alpha. Si quieres hacerlo tú mismo, puedes usar la sustitución de Weierstrass. Pero sin duda hay una manera más ordenada.

Answer 2

Ben, aquí tienes una mejor sugerencia. Puedes estirar un círculo para hacer una elipse y, si empiezas con un círculo unitario, el área se magnifica por el factor de $ab$, donde $a$ y $b$ son los semiejes, como de costumbre. Toma un punto en $(-R,0)$ dentro del círculo unitario y considera el sector que subtiende a $(1,0)$ y $(\cos t, \sin t)$. Puedes encontrar el área bastante fácilmente: obtengo $\frac 12(t+R\sin t)$. Ahora estira por el factor de ajuste y averigua cómo emparejar $R$ con tu foco y $t$ con tu punto arbitrario en la elipse.

Answer 3

La respuesta de Ted ya describió lo que haría, pero dejó muchas cosas para que los lectores las resuelvan o las busquen. Así que aquí daré detalles sobre esto. La idea principal es transformar el problema a un círculo, donde las áreas se calculan más fácilmente.

Transformando coordenadas

La parametrización polar de una elipse (alineada con el eje) desde su foco está dada por

$$\overline{FP}=r(\theta)=\frac{a(1-e^2)}{1+e\cos\theta}$$

donde $a$ es el semieje mayor, $e$ es la excentricidad y $\theta$ es el ángulo, es decir, la anomalía verdadera. Expresado en coordenadas, esto es

$$\overrightarrow{FP}= \begin{pmatrix}r(\theta)\cos\theta\\r(\theta)\sin\theta\end{pmatrix}$$

Ahora estira todo en dirección de su semieje menor (es decir, en su dirección $y$) por un factor de

$$\frac ab=\frac1{\sqrt{1-e^2}}$$

El resultado será un círculo de radio $a$. El origen sigue siendo el punto que solía ser el foco. La distancia entre ese punto y el centro es $\overline{CF}=ae$ (también llamada excéntricidad lineal o distancia focal). Así que agrega eso a las coordenadas $x$ para mover el origen al centro. Juntos ahora tienes

$$ \overrightarrow{CQ}= \begin{pmatrix}r(\theta)\cos\theta+ae\\ \frac ab r(\theta)\sin\theta\end{pmatrix} = \frac{a}{1+e\cos\theta} \begin{pmatrix}(1-e^2)\cos\theta+e+e^2\cos\theta\\ \sqrt{1-e^2}\sin\theta\end{pmatrix} $$

Anomalía excéntrica

El ángulo para ese punto (contra el eje horizontal) es la anomalía excéntrica $E$, por lo que cumple con la siguiente relación:

$$\tan E=\frac{\sqrt{1-e^2}\sin\theta} {(1-e^2)\cos\theta+e+e^2\cos\theta}$$

Usando la substitución de tangente de medio ángulo que André mencionó en su respuesta, puedes convertir esto en

\begin{align*} \frac{2\tan\frac E2}{1-\tan^2\frac E2}&= \frac{\sqrt{1-e^2}2\tan\frac\theta2} {(1-e^2)(1-\tan^2\frac\theta2)+e(1+\tan^2\frac\theta2)+e^2(1-\tan^2\frac\theta2)} \\&= \frac{2\sqrt{(1+e)(1-e)}\tan\frac\theta2}{(1+e)-(1-e)\tan^2\frac\theta2} =\frac{2\sqrt{\frac{1-e}{1+e}}\tan\frac\theta2} {1-\frac{1-e}{1+e}\tan^2\frac\theta2} \end{align*}

Simplemente comparando ambos lados puedes ver

$$\tan\frac E2 = \sqrt{\frac{1-e}{1+e}}\tan\frac\theta2$$

Esto concuerda con la relación que Wikipedia menciona. Y tratar con la tangente de la mitad del ángulo tiene el beneficio de que puedes calcular la arcotangente sin preocuparte por el cuadrante. Simplemente puedes calcular

$$E=2\arctan\left(\sqrt{\frac{1-e}{1+e}}\tan\frac\theta2\right)$$

excepto en el caso especial cuando $\theta=\pm\pi$ lo cual resulta en una tangente infinita pero también en $E=\pm\pi$.

Área del sector circular

Ahora sabes que el área de un sector circular es proporcional al ángulo, así que para un círculo de radio $a$ esto sería $\frac12a^2E$. Esa es la suma de las áreas amarilla y cian, es decir, el sector $ACQ$.

Desde el centro de regreso al foco

Pero esa área está subtendida por el centro, no por el foco. Por lo tanto, resta un triángulo de base $ae$ y altura $a\sin E$ (el triángulo cian $\triangle FCQ$) y obtendrás el área subtendida por el foco ($AFQ$ coloreada de amarillo):

$$ \tfrac12a^2E-\tfrac12a^2e\sin E=\tfrac12a^2\left(E - e\sin E\right) $$

De regreso a la elipse

Esto aún es un área en el círculo. Para regresar a la elipse original, debes deshacer el escalado, es decir, escalar la dirección $y$ por $\frac ba$. Esto escala las áreas por el mismo factor. Así que el área por la que estabas preguntando ($AFP$ teñida de rojo) sería

$$\tfrac12ab\left(E-e\sin E\right)$$

Anomalía media

A medida que varías $\theta$ de $0$ a $2\pi$, el área anterior variará de $0$ a $ab\pi$. Dado que áreas iguales se barrerán en tiempos iguales, esto está estrechamente relacionado con la anomalía media que barre de $0$ a $2\pi$ en un tiempo constante.

$$M=E-e\sin E$$

Este resultado nuevamente es mencionado en Wikipedia, con una referencia a la ecuación de Kepler. Entonces en términos de la anomalía media, obtendrías el área como

$$\tfrac12abM$$

tal como ben escribió en este comentario.

Answer 4

Siguiendo el enfoque que utilicé para Evaluar $\int_a^b \frac12 r^2\ \mathrm d\theta$ para encontrar el área de una elipse, parametrize la elipse como:

$x(t)=a \cos (t)$

$y(t)=b \sin (t)$

con $a>b$ (el caso $a

donde $d = a \cos (t)-\sqrt{a^2-b^2}$

Esto nos da:

$\tan (\theta ) = \frac{b \sin (t)}{a \cos (t)-\sqrt{a^2-b^2}}$

Resolviendo para t, obtenemos:

$t(\theta) = \cos ^{-1}\left(\frac{a \sqrt{(a-b) (a+b)} \tan ^2(\theta)+b^2 \sec (\theta)}{a^2 \tan ^2(\theta)+b^2}\right)$

siempre que $\theta<\pi/2$ (el caso $\theta>=\pi/2$ es similar, aunque no simétrico, y se deja como ejercicio para el lector)

Ahora podemos reparemetrizar la elipse usando el ángulo focal:

$x(\theta )=a \cos (t(\theta))$

$y(\theta )=b \sin (t(\theta))$

o:

$x(\theta) = \frac{a \left(a \sqrt{(a-b) (a+b)} \tan ^2(\theta)+b^2 \sec (\theta)\right)}{a^2 \tan ^2(\theta)+b^2}$

$y(\theta) = b \sqrt{1-\frac{\left(a \sqrt{(a-b) (a+b)} \tan ^2(\theta)+b^2 \sec (\theta)\right)^2}{\left(a^2 \tan ^2(\theta)+b^2\right)^2}}$

y calcular el radio al cuadrado para un $\theta$ dado (también podríamos calcular el radio en sí, pero no lo necesitaremos):

$r(\theta )^2=x(\theta )^2+y(\theta )^2$

Sustituyendo y simplificando, esto nos da:

$r(\theta)^2 = \frac{a^2 \tan ^2(\theta) \left(\left(a^4-a^2 b^2+b^4\right) \tan ^2(\theta)+2 b^4\right)+b^4 (a-b) (a+b) \sec ^2(\theta)+2 a b^2 ((a-b) (a+b))^{3/2} \tan ^2(\theta) \sec (\theta)+b^6}{\left(a^2 \tan ^2(\theta)+b^2\right)^2}$

Ahora simplemente integramos $r(\theta)^2/2$ respecto a $d\theta$:

$A(\theta) = \int_0^{\theta } \frac{r(\phi)^2}{2} \, d\phi$

Después de integrar y simplificar, tenemos que $\text{A}(\theta)=$

$\frac{1}{2} \left(\theta \left(a^2+b^2\right)+b \left(a \cot ^{-1}\left(\frac{b \csc (\theta)}{\sqrt{a^2-b^2}}\right)-\frac{2 b \sin (\theta) \left(\left(b^2-a^2\right) \cos (\theta)+a \sqrt{(a-b) (a+b)}\right)+a \left(\left(b^2-a^2\right) \cos (2 \theta)+a^2+b^2\right) \tan ^{-1}\left(\frac{a \tan (\theta )}{b}\right)}{\left(b^2-a^2\right) \cos (2 \theta)+a^2+b^2}\right)\right)$

Como recordatorio, esto solo funciona cuando $a>b$ (aunque el otro caso es simétrico) y $\theta<\pi/2$ (el otro caso es similar, pero no simétrico).

Detalles sobre cómo trabajé esto: https://github.com/barrycarter/bcapps/blob/master/ASTRO/bc-ellipse-focus.m

Answer 5

La formulación dinámica newtoniana es la más fácil si desea el área con respecto al tiempo porque, según la segunda Ley de Kepler, se barrerá áreas sectoriales iguales en intervalos de tiempo iguales. Además, obtiene la idea original newtoniana en este ejercicio.

Necesita integrar la ecuación diferencial y convertir el momento angular constante $h=(d\theta/dt)r^2, GM$, latus rectum $p$, etc. en parámetros geométricos para alimentar a la forma polar de la elipse:

$$r=\frac{a(1-e^2)}{1-e\cos\theta} =\frac p {1-e\cos\theta}. $$

La derivación comenzando con el equilibrio radial/circunferencial de la ley del cuadrado inverso no es tan difícil tampoco.

Convertir la forma en la que Newton lo derivó primero de una situación dinámica a una forma geométrica/polar como se muestra arriba es ahora estándar/canónico. No veía diferencia entre los lados dinámico y geométrico del movimiento planetario.

Tengo la derivación geométrica de ODE ($r-\theta$) para cónicas también, pero aconsejo hacer primero la derivación dinámica.