La pregunta acerca de cómo una topología se define

Question

Tengo un ejercicio que define una topología de esta manera:

$$\tau=\{\emptyset\}\cup\{\{1,2,3,...,n\}:n\in\mathbb{N}\}\cup\{\mathbb{N}\}$$

Entiendo que en $\{\{1,2,3,...,n\}:n\in\mathbb{N}\}$ hay sólo un juego, y depende de lo $n$ elegimos. Por ejemplo, si tomamos $n=3$, la topología es $$\tau=\{\emptyset\}\cup\{1,2,3\}\cup\{\mathbb{N}\}.$$

Estoy en lo cierto? Si no, ¿cómo esto ha de ser entendido?

Gracias!

Answer 1

Entiendo que en {{1,2,3,...,n}:n∈N} no es sólo un conjunto, y depende de lo que n nos elija.

No. Usted entiende mal y eso es exactamente lo que no significa.

Que sería de $\{\{1,2,3,..... n\}:$ algunos $n \in \mathbb N\}$.

Se entiende que esta notación significa que $\{\{1,2,3,.... n\}:$ por cada $n \in \mathbb N\}$

Así que este conjunto es infinito y es igual a $\{\{1\}, \{1,2\}, \{1,2,3\}...... \{1, 2, 3...... k\}, \{1,2,3,......., k+1\},.......\}$.

Answer 2

La variable $n$ es sólo una variable de índice.

Por lo que la topología ha abierto los conjuntos de la forma $\{1,2,3,...,n\}$ para cada entero positivo $n$.

Por lo tanto, la topología es $$\tau=\{{\large{\varnothing}},\mathbb{N},\{1\},\{1,2\},\{1,2,3\},...\}$$ Por supuesto, usted debe comprobar para asegurarse de que los axiomas son satisfechos.

• Es el conjunto vacío abierto?$\\[4pt]$
• Es todo el espacio $\mathbb{N}$?$\\[4pt]$
• Es la intersección de dos conjuntos abiertos?$\\[4pt]$
• Es arbitraria la unión de abrir los conjuntos abiertos?$\\[4pt]$

Los cheques son de rutina, pero al menos debe pensar en ellos a través de.