Demuestre que la teoría de los grupos abelianos no es Henkin

Question

Una teoría $\Gamma$ se llama Henkin si cuando $\Gamma \vdash \exists x \varphi(x)$ tenemos que existe una constante c tal que $\Gamma \vdash \varphi(c)$ . Ahora, se me pide que demuestre que la teoría de los grupos abelianos en el lenguaje $\{ \circ,e,()^{-1}\}$ no es Henkin. Mi idea es tratar de encontrar un hecho sobre los grupos abelianos que tenga una demostración no constructiva, pero realmente no conozco ninguno.

Answer 1

Dejemos que $\varphi(x)$ sea la declaración $(\forall y (x = y)) \lor (x \ne e)$ . Entonces $\Gamma \vdash \exists x \varphi(x)$ pero el testigo de la misma en un grupo abeliano dado no será su símbolo constante $e$ a menos que el grupo sea trivial.