Acerca de los anillos artinianos

Question

Estoy estudiando álgebra conmutativa por el texto de Atiyah y Macdonald, y me surge una duda y no puedo demostrar ni encontrar un contraejemplo, el problema es:

¿Si un anillo (conmutativo con identidad) sólo tiene un número finito de ideales primos, entonces el anillo es artiniano (o noetheriano)?

Gracias por cualquier ayuda.

Answer 1

Si $k$ es un campo, el anillo $k[X_1, X_2,...,X_n,...]/(X_1, X_2^2,...,X_n^n,...)=k[x_1,x_2,...,x_n,...]$ tiene $(x_1,x_2,...,x_n,...)$ como su único ideal primo, pero no es artiniano, ni siquiera noetérico.