Encuentre los dos últimos dígitos de $1717^{1717}$

Question

$1717^{1717} \mod 100$

Desde $\phi(100) = 40$ podemos transformar esto en:

$17^{37}101^{37} \mod 100 = 17^{37} \mod 100$

¿Cómo puedo seguir adelante?

Answer 1

Desde $17^3\equiv13\pmod{100}$ , $17^{37}\pmod{100}$ es la inversa de $13$ en $\mathbb{Z}_{100}^*$ que resulta ser $77$ .

Answer 2

Utilice el Teorema del resto chino : $$\mathbf Z/100\mathbf Z\simeq\mathbf Z/4\mathbf Z\times\mathbf Z/25\mathbf Z$$

$17\equiv 1\mod 4$ Así que $17^{37}\equiv \color{red}1\mod 4$ . Por otro lado, $\varphi(25)=20$ Así que $\;17^{37}\equiv 17^{-3}=(17^{-1})^3\mod 25$ . Como relación de Bézout entre $17$ y $25$ es $$3\cdot 17-2\cdot25=1,$$ tenemos $17^{-1}\equiv 3\mod 25$ y finalmente conseguimos $$17^{37}\equiv 3^3\equiv \color{red}2\mod 25.$$ Utiliza ahora el isomorfismo inverso: a partir de la relación de Bézout entre $4$ y $25$ : $\;25-6\cdot4=1$ deducimos $$17^{37}\equiv \color{red}1\cdot 25-\color{red}2\cdot6\cdot 4=-23\equiv 77\mod 100.$$

Answer 3

$1717 \equiv 17$ (mod 100), ya que $1700 \equiv 0$ (mod 100).

Por lo tanto, $1717^{1717} \equiv 17^{1717}$ (mod 100).

Ahora hay que calcular las potencias $17^n$ (mod 100). Esto da lo que a veces se llama un ciclo .

$17\equiv 17$ (mod. 100)

$17^2\equiv 289 \equiv 89$ (mod. 100)

$17^3 \equiv 4913 \equiv 13$ (mod. 100)

$17^4 \equiv 83521 \equiv 21$ (mod. 100)

y así sucesivamente. Finalmente obtendrá que $17^{21}\equiv 17$ (mod 100) de nuevo. Dado que $1717\equiv 17$ (mod 20), los dos últimos dígitos de $1717^{1717}$ (mod 100) son los mismos que los dos últimos dígitos de $17^{17}$ (mod 100) que son $77$ .

Answer 4

Como ¿Cuáles son los dos últimos dígitos de $77^{17}$ ? ,

utilizando Función de Carmichael , $\lambda(100)=20\implies**17^{**17}\equiv17^{17}\pmod{100}$

Ahora $17^2=290-1, 17^{17}=17(290-1)^8$

Otra vez, $\displaystyle(290-1)^8=(1-290)^8\equiv1-\binom81290\pmod{100}\equiv1-90\cdot8\equiv-19$

Ahora $-19\cdot17=-323\equiv77\pmod{100}$

Ver también :

Encuentre los dos últimos dígitos de $ 7^{81} ?$

Los dos últimos dígitos de $13^{1010}$ .

Encuentre los dos últimos dígitos de $3^{45}$

¿cuáles son los dos últimos dígitos de $2016^{2017}$ ?

Answer 5

Tenga en cuenta que $$17^{37}\equiv(17^3)^{12}\cdot17\equiv(13^{3})^4\cdot17\equiv(-3)^4\cdot17\equiv1377\equiv77\pmod{100}.$$

o

$$17^{37}\equiv(17^4)^9\cdot17\equiv21^5\cdot21^4\cdot17\equiv1\cdot81\cdot17\equiv77\pmod{100}.$$