Puede alguien explicar (de manera tan rigurosa como sea posible) de lo que está involucrado en analíticamente continua, es decir, la solución de Schwarzschild para el test de Kruskal colector? Entiendo las dos métricas por separado, pero no estoy seguro de cómo continuación analítica se utiliza, ya que realmente no puedo ver cómo el proceso de ampliar el dominio de una función compleja tiene nada que ver con la extensión de un colector a través de un cambio de coordenadas.
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Queridos dbrane, la terminología básica de refinamiento podría ser útil. Las palabras de "máxima" y "analítica" son dos más o menos independiente de los adjetivos de la "extensión". La palabra "máximo" significa que "no puede ser extendido más allá". Por otro lado, la palabra "analítica" se refiere a la norma "funciones analíticas".
Funciones analíticas son infinitamente diferenciable funciones tales que si se escribe la expansión de Taylor alrededor de cualquier punto, converge a la exacta función original.
Real vs variables complejas en analiticidad
A pesar de Tim, la advertencia de que usted está muy bien que la palabra "analítica" en el contexto de la relatividad general está vinculado a la "analítica" en el contexto de funciones de variable compleja. La única diferencia es que en la relatividad general, se suelen sustituir los valores reales de las coordenadas espacio-tiempo sólo.
Sin embargo, la definición de una analítica de la función de una variable compleja y una analítica de la función de una variable real es totalmente análogo. Para funciones complejas de variables complejas, aún así es cierto que las funciones analíticas son infinitamente diferenciable de modo que la expansión de Taylor converge a la función completa en cada punto de la "dominio".
Sin embargo, las funciones analíticas de variable compleja son mucho más limitados que "analítica de funciones de dos variables reales", es decir, la real y la parte imaginaria: eso es porque la analítica de funciones de variables complejas deben ser holomorphic independiente de la compleja conjugada de la variable. De hecho, "analítica" y "holomorphic" son exactamente equivalentes a los adjetivos cuando se trata de funciones de variables complejas. Así que la analogía correcta es entre holomorphic funciones reales y funciones analíticas de una (en lugar de dos) de variable real.
La ampliación de las soluciones en la relatividad general
Pero volvamos a la relatividad general. En ese caso, las coordenadas espacio-tiempo son reales. Una solución empezamos con - por ejemplo, la solución de Schwarzschild - no suele ser extendidos al máximo para empezar, se ha de coordinar las singularidades y uno no puede conseguir más allá de ellos mediante la lectura de la solución, aunque geodesics continuar a través de los puntos en el espacio real.
Una extensión de esta solución puede ser obtenida si que hábilmente redefinir las coordenadas espacio-tiempo, de modo que el espacio alrededor de la coordenada de la singularidad - en este caso, el de Schwarzschild horizonte de sucesos - se vuelve regular. Por este paso, nos deshacemos de la coordenada de la singularidad y el tensor métrico se convierte en degenerada incluso en el lugar de la anterior coordinar singularidad (horizonte de sucesos).
Una vez que lo hacemos, queda claro que el locus del horizonte aparece en un determinado lugar en el espacio-tiempo, y debido a que la métrica es suave en un lado, el tensor métrico se puede continuar como una colección de funciones analíticas de las nuevas coordenadas espacio-tiempo. Esta continuación es totalmente análoga a la continuación en el caso complejo: podemos escribir la expansión de Taylor alrededor de un punto dado, cerca del límite anterior y simplemente extrapolar tan lejos como podamos.
Podemos seguir tan lejos como podamos y si la expansión de Taylor se bifurca en algún lugar, se puede tratar de continuar desde otro punto de llegar aún más lejos. De nuevo, incluso en las nuevas coordenadas, podemos encontrar coordinar las singularidades como estamos ampliando el espacio-tiempo. Con el fin de ampliar aún más la solución, podemos elegir incluso mejor coordenadas, y así sucesivamente.
Al final del proceso se detiene debido a que el espacio-tiempo está rodeado por asintótica infinita, de volumen infinito donde las trayectorias puede ser extendido a una infinita longitud adecuada - o, por el genuino (curvatura) singularidades que no puede ser extendido por cualquier sistema de coordenadas. Geodesics físicamente terminar en sus singularidades.
Mi descripción anterior es bastante mecánico de la receta de cómo proceder. Sin embargo, en la práctica, siempre se necesita ser inteligente en cada punto, para saber cual de coordenadas debe ser elegido para llegar tan lejos como usted puede, y así sucesivamente. También puede encontrar que hay varios máxima de extensiones, aunque no estoy seguro y no puedo mencionar ejemplos bien conocidos ahora.
Ejemplo
Un ejemplo útil son el test de kruskal-Szekeres coordenadas para la solución de Schwarzschild
que son la máxima continuación analítica de la neutral agujero negro de la geometría.
