$\omega_2$ es un no contables de la unión de conjuntos contables sin AC

Question

Este es un ejercicio de Jech 3.13

Me gustaría mostrar que $\omega_2$ no es un contable de la unión de conjuntos contables sin AC. Me ha dado el siguiente consejo:

No estoy seguro de cómo definir la asignación. Sabemos que hay isomorphisms, $f_n :S_n \to \alpha_n$, por lo que si definimos $F: \omega \times \alpha \to \omega_2$ $F(n, \gamma) = f_n^{-1}(\gamma)$ si $\gamma \in \alpha_n$ $F(n, \gamma) = 0$ lo contrario, hace este trabajo? También, si funciona, hace que se evite el axioma de elección?

Answer 1

Funciona, aunque yo quitaría $f_n\colon\alpha_n\to S_n$. La razón de esto evita que la elección es $f_n$ es única, por lo que no es necesario elegir a él desde cualquier lugar. Es sólo el colapso de Mostowski $S_n$ (o su inverso en mi sugerencia).