Puede $\mathbb CP^n$ sea el límite de una variedad compacta?

Question

Puede $\mathbb CP^n$ sea el límite de un colector compacto?

Por ejemplo, cuando $n=1$ , $\mathbb CP^n=S^2$ por lo que es el límite de $B^3$ .

Answer 1

Respuesta corta: Para $n$ impar, sí. Para $n$ incluso, no.

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La explicación de cada caso:

$n$ impar: Existe un fibrado $$S^2 \hookrightarrow \mathbb{C}P^{2n+1} \longrightarrow \mathbb{H}P^n.$$ Entonces el haz de discos asociado $$D^3 \hookrightarrow E \longrightarrow \mathbb{H}P^n$$ tiene como espacio total una variedad compacta $E$ con límite $\mathbb{C}P^{2n+1}$ .

$n$ incluso: Por un resultado de Thom, una variedad suave limita a una variedad compacta si y sólo si todos sus números de Stiefel-Whitney son cero. Para $\mathbb{C}P^{2n}$ tenemos que $$\langle w_{4n}(\mathbb{C}P^{2n}), [\mathbb{C}P^{2n}] \rangle = \chi(\mathbb{C}P^{2n}) \pmod 2 = 1 \neq 0,$$ así que $\mathbb{C}P^{2n}$ tiene un número de Stiefel-Whitney no nulo. Por lo tanto, $\mathbb{C}P^{2n}$ no puede delimitar ninguna variedad compacta.

Answer 2

Si quieres buscar en Google la teoría del bordismo, estás metiendo el dedo del pie en ella. Grupos de bordismo $\Omega_k$ se definen para ser generados por (orientados) $k$ -manifolds, modulo la relación de equivalencia de cobordismo. ( $M_1\sim M_2$ si $M_1\cup(-M_2)=\partial W$ para algunos $W$ .) La operación de grupo es la unión disjunta o, de forma equivalente, la suma conectada. Entonces $\mathbb{CP}^k$ limita una colector si es trivial en $\Omega_k$ .

$\mathbb{CP}^2$ es el ejemplo orientable más sencillo de una variedad que no es el límite de otra variedad. (¡Bien, un punto es el más simple!) El ejemplo no orientable más simple es $\mathbb{RP}^2$ .

De hecho, utilizando el invariante de la firma, se puede demostrar que todos los $\mathbb{CP}^{2k}$ no son límites. René Thom demostró en realidad que $\oplus \Omega_k\otimes \mathbb Q$ se genera como un anillo por los colectores $\mathbb{CP}^{2k}$ (la multiplicación es el producto cartesiano). Los elementos de torsión son mucho más difíciles de clasificar.

Así que la firma muestra que $\mathbb{CP}^{2k}$ no son límites, y por el resultado de Thom, una unión disjunta de cierto número de copias de $\mathbb{CP}^{2k+1}$ debe delimitar una variedad de mayor dimensión. Sospecho que estas variedades son realmente nulo-bordante como es. Es de suponer que se puede construir un colector de límites a mano.