El uso del Punto Fijo de Banach Teorema para demostrar la convergencia de una secuencia

Question

Uso del punto fijo de Banach teorema para demostrar que la siguiente secuencia converge. ¿Cuál es el límite de este secuencia? $$\left(\frac{1}{3}, \frac{1}{3+\frac{1}{3}}, \frac{1}{3+\frac{1}{3+\frac{1}{3}}}, \dots\right)$$

Deduje que la forma cerrada de la secuencia $$\begin{align} x_0 &= \frac{1}{3} \\ x_n &= \frac{1}{3 + x_{n-1}} \end{align}$$

y, a continuación, la función de la que, supongo, será la que se aplica varias veces a converger la secuencia (por el punto fijo de Banach teorema) $$f(x)=\frac{1}{3+x}$$

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Eso es lo que yo sé a ir seguro, pero supuse entonces que necesitaba probarme $f(x)$ fue una asignación de contracción (como la hipótesis del punto fijo de Banach teorema dicta), que es

$$d(f(x),f(y)) \leq r d(x,y)$$ donde $r \in [0, 1)$, y así

$$\begin{align} \frac{1}{3+x} - \frac{1}{3+y} &\leq r(x - y) \\ \frac{1}{(x - y)(3 + x)} - \frac{1}{(x - y)(3 + y)} &\leq r \\ \frac{-1}{(x + 3)(y + 3)} &\leq r \end{align}$$

Aunque no creo que la anterior demuestra algo útil a todos. (A menos que $(x+3)(y+3) < -1$, donde se muestra que $\exists r \in [0,1) : \dots$.)

Answer 1

Estás en la pista de la derecha (a pesar de que usted se olvidó de los más cruciales valor absoluto de los signos en la desigualdad). Trate de mostrar que $f$ es una contracción mapa en algunas subinterval de $\Bbb R$. (No está definido aún en $-3$, por lo que debemos tener en cuenta una adecuada subinterval, de todos modos.) Ya estamos tomando nuestro punto inicial para ser $\frac13$, bien podríamos considerar $[0,\infty)$. En su lugar, podríamos utilizar $[\alpha,\infty)$ algunos $-3<\alpha<0$, si nos gustaba, pero $0$ funciona bien.

Mostrar que si $x\in[0,\infty)$$f(x)\in[0,\infty).$, para todos los $x,y\in[0,\infty)$, se puede ver que $$\left|\frac1{3+x}-\frac1{3+y}\right|=\left|\frac{y-x}{(3+x)(3+y)}\right|=\frac1{(3+x)(3+y)}|x-y|\le r|x-y|,$$ where $r=???$

Answer 2

Sugerencia: Utilice el valor medio teorema a demostrar su mapa de $f(x)=\frac{1}{3+x}$ es la contracción en el intervalo de $[0,\infty)$. Ver aquí para técnicas detalladas.